Aká je rýchlosť častice pre t = 0 až t = 10 akcelerácia je veca = 3t ^ 2 hati + 5t hatj- (8t ^ 3 + 400) hatk?

odpoveď:

Priemerná rýchlosť: # 6.01 xx 10 ^ 3 # #"pani"#

Rýchlosť v čase #t = 0 # # "S" #: #0# #"pani"#

Rýchlosť pri #t = 10 # # "S" #: # 2,40 xx 10 ^ 4 # #"pani"#

vysvetlenie:

Predpokladám, že to myslíš priemerná rýchlosť z #t = 0 # na #t = 10 # # "S" #.

Dostali sme zložky zrýchlenia častíc a požiadali sme, aby sme zistili priemernú rýchlosť nad prvou #10# sekúnd jeho pohybu:

#vecv_ "av" = (Deltavecr) / (10 "s") #

kde

#v_ "av" # je veľkosť priemernej rýchlosti a. t
# # Deltar je zmena umiestnenia objektu (z #0# # "S" # na #10# # "S" #).

Preto musíme nájsť polohu objektu v týchto dvoch časoch.

Z tejto rovnice zrýchlenia musíme odvodiť polohu z rovnice integráciou dvakrát:

Prvá integrácia:

#vecv = (t ^ 3) hati + (5 / 2t ^ 2) hatj - (2t ^ 4 + 400t) hatk # (Rýchlosť)

Druhá integrácia:

#vecr = (1 / 4t ^ 4) hati + (5 / 6t ^ 3) hatj - (2 / 5t ^ 5 + 200t ^ 2) hatk # (Poloha)

Predpokladá sa, že počiatočná pozícia je na počiatku, takže sa pripojme #10# pre # T # v rovnici pozície:

#vecr = (2500) hati + (2500/3) hatk - (60000) hatk #

Potom môžeme rozdeliť rovnicu priemernej rýchlosti na komponenty:

#v_ "av-x" = (Deltax) / (10 "s") = (2500 "m") / (10 "s") = farba (červená) (250 # #COLOR (red) ("m / s" #

#v_ "av-y" = (Deltay) / (10 "s") = (2500/3 "m") / (10 "s") = farba (modrá) (250/3 # #COLOR (modrá) ("m / s" #

#v_ "av-z" = (Deltaz) / (10 "s") = (-60000 "m") / (10 "s") = farba (zelená) (- 6000 # #COLOR (zelená) ("m / s" #

Pomocou týchto zložiek nájdeme veľkosť vektora priemernej rýchlosti:

#v_ "av" = sqrt ((v_ "av-x") ^ 2 + (v_ "av-y") ^ 2 + (v_ "av-z") ^ 2) #

# = sqrt ((250 "m / s") ^ 2 + (250/3 "m / s") ^ 2 + (-6000 "m / s") ^ 2) #

# = farba (fialová) (6.01 xx 10 ^ 3 # #COLOR (fialová) ("m / s" #

(Tu je okamžitý časť rýchlosti).

Ak chcete nájsť okamžité rýchlosti na #t = 0 # a #t = 10 # # "S" #, poďme najprv zapojiť tieto časy do predtým integrovanej rovnice rýchlosti:

#t = 0 # # "S" #

#vecv = ((0 "s") ^ 3) hati + (5/2 (0 "s)) ^ 2) hatj - (2 (0" s)) ^ 4 + 400 (0 "s)) hatk #

# = farba (červená) (0 # #COLOR (red) ("m / s" #

#t = 10 # # "S" #

#vecv = ((10 "s") ^ 3) hati + (5/2 (10 "s)) ^ 2) hatj - (2 (10" s)) 4 + 400 (10 "s) hatk #

# = (1000 "m / s") hati + (250 "m / s") hatj - (24000 m / s) hatk #

Veľkosť tejto rýchlosti je teda

#v (10 "s") = sqrt ((1000 "m / s") ^ 2 + (250 "m / s") ^ 2 + (-24000 "m / s") ^ 2) #

# = farba (modrá) (2,40 xx 10 ^ 4 # #COLOR (modrá) ("m / s" #