Aký je limit x ako 0 z (1 + 2x) ^ cscx?

Odpoveď je # E ^ 2 #.

Úvaha nie je taká jednoduchá. Po prvé, musíte použiť trik: a = e ^ ln (a).

Z tohto dôvodu # (1 + 2x) ^ (1 / sinx) = e ^ u #, kde

# u = ln ((1 + 2x) ^ (1 / sinx)) = ln (1 + 2x) / sinx #

Preto, as # E ^ x # je kontinuálna funkcia, môžeme posunúť limit:

#lim_ (x-> 0) e ^ u = e ^ (lim_ (x-> 0) u) #

Vypočítajte limit # U # ako x sa blíži 0. Bez akejkoľvek vety by výpočty boli ťažké. Preto používame de l'Hospital teorém ako limit je typu #0/0#.

#lim_ (x-> 0) f (x) / g (x) = lim_ (x-> 0) ((f '(x)) / (g' (x))) #

Z tohto dôvodu

#lim_ (x-> 0) ln (1 + 2x) / sinx = 2 / (2x + 1) / cos (x) = 2 / ((2x + 1) cosx) = 2 #

A potom, ak sa vrátime k pôvodnému limitu # e ^ (lim_ (x-> 0) u) # a vložte 2, dostaneme výsledok # E ^ 2 #,