Čo je doména a rozsah f (x) = (x + 5) / (x ^ 2 + 36)?

odpoveď:

Doména je # RR # (všetky reálne čísla) a rozsah je # 5-sqrt (61)) / 72, (5 + sqrt (61)) / 72 #

(všetky reálne čísla medzi a vrátane # (5-sqrt (61)) / 72 # a # (5 + sqrt (61)) / 72 #).

vysvetlenie:

V doméne začíname so všetkými reálnymi číslami a potom odstránime všetky, ktoré by nás nútili mať druhú odmocninu záporného čísla alebo #0# v menovateli zlomku.

Na prvý pohľad vieme, že # x ^ 2> = 0 # pre všetky reálne čísla, # x ^ 2 + 36> = 36> 0 #, Menovateľ teda nebude #0# pre akékoľvek reálne číslo #X#, čo znamená, že doména obsahuje každé reálne číslo.

Pre rozsah, najjednoduchší spôsob, ako nájsť vyššie uvedené hodnoty zahŕňa niektoré základné kalkul. Hoci je dlhšia, je možné ich nájsť aj pomocou algebry, avšak s metódou podrobne opísanou nižšie.

Počnúc funkciou #f (x) = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) # chceme nájsť všetky možné hodnoty # F (x) #, To je ekvivalent k nájdeniu domény inverznej funkcie # F ^ -1 (x) # (funkcia s majetkom # f ^ -1 (f (x)) = f (f ^ -1 (x)) = 1 #)

Bohužiaľ, naopak # F (x) # v tomto prípade nejde o funkciu, pretože vracia 2 hodnoty, ale myšlienka je stále rovnaká. Začneme rovnicou #y = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) # a vyriešiť #X# nájsť inverzný. Ďalej sa pozrieme na možné hodnoty # Y # nájsť doménu inverznej, a teda aj rozsah pôvodnej funkcie.

Riešenie pre #X#:

#y = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) #

# => y (x ^ 2 + 36) = x + 5 #

# => yx ^ 2 + 36y = x + 5 #

# => yx ^ 2 - x + (36y - 5) = 0 #

liečenie # Y # ako konštanta aplikujeme kvadratický vzorec

# ax ^ 2 + bx + c = 0 => x = (-b + - sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / (2a) #

získať

#x = (1 + - sqrt (1 - 4y (36y - 5))) / (2y) #

Teraz musíme nájsť doménu vyššie uvedeného výrazu (všimnite si, že to nie je funkcia kvôli #+-#). Všimnite si, že delením číslom # Y # v kvadratickom vzorci sme stratili možnosť # Y = 0 #, čo je jasne možné v pôvodnej rovnici (pre #x = -5 #). Tak budeme ignorovať # Y # v menovateli inverzného a zamerať sa len na druhú odmocninu.

Ako už bolo spomenuté, nedovoľujeme odmocninu hodnoty menšej ako 0, a tak máme obmedzenie

# 1 - 4y (36y-5)> = 0 #

# => -144y ^ 2 + 20y + 1> = 0 #

Pomocou kvadratického vzorca # -144y ^ 2 + 20y + 1 = 0 # po určitom zjednodušení zistíme, #y = (5 + -sqrt (61)) / 72 #

Nakoniec môžeme povedať, že # | Y | # rastie, # -144y ^ 2 + 20y + 1 # bude menej ako #0#, Zvažujeme teda len interval medzi

#y = (5-sqrt (61)) / 72 # a #y = (5 + sqrt (61)) / 72 #

Takže povolené hodnoty pre # Y #, a teda rozsah pre # F (x) #, je

# 5-sqrt (61)) / 72, (5 + sqrt (61)) / 72 #