Ako integrujete int 1 / sqrt (-e ^ (2x) -20e ^ x-101) dx pomocou goniometrickej substitúcie?

odpoveď:

# -sqrt (101) / 101i * ln ((10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1-sqrt101) / (10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) 1)) + 1 + sqrt101)) + C #

vysvetlenie:

Riešenie je trochu zdĺhavé !!!

Z uvedeného #int 1 / sqrt (-e ^ (2x) -20e ^ x-101) * dx #

#int 1 / ((sqrt (-1) * sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) * dx #

Všimnite si to # I = sqrt (-1) # imaginárneho čísla

Na chvíľu odložte toto komplexné číslo a pokračujte k integrálu

#int 1 / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) * dx #

vyplnením štvorca a zoskupením:

#int 1 / (sqrt ((e ^ x) ^ 2 + 20e ^ x + 100-100 + 101) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x) ^ 2 + 20e ^ x + 100) -100 + 101)) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x + 10) ^ 2-100 + 101))) * dx #

#int 1 / (sqrt ((((^ ^ x + 10) ^ 2 + 1))) * dx #

Prvá trigonometrická substitúcia: ##

Akútny uhol # W # s protiľahlou stranou # = E ^ x + 10 # a priľahlej strane #=1# s preponou =#sqrt ((e ^ x + 10) ^ 2 + 1) #

nechať # e ^ x + 10 = tan w #

# e ^ x dx = sec ^ 2 w # # dw #

# dx = (sec ^ 2w * dw) / e ^ x #

a potom

# dx = (sek ^ 2w * dw) / tan (w-10) #

Integrál sa stáva

#int 1 / sqrt (tan ^ 2w + 1) * (sek ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int 1 / sqrt (sec ^ 2w) * (sek ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int 1 / sec w * (sek ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int (secw * dw) / (tan w-10) #

z trigonometrie #sec w = 1 / cos w # a #tan w = sin w / cos w #

Integrál sa stáva

#int (1 / cos w * dw) / (sin w / cos w-10) # a

#int (dw) / (sin w-10 cos w) #

Druhá trigonometrická substitúcia:

nechať # w = 2 tan ^ -1 z #

# Dw = 2 * dz / (1 + z ^ 2) #

a tiež # z = tan (w / 2) #

Pravý trojuholník: ostrý uhol # W / 2 # s opačnou stranou # = z #

Priľahlá strana #=1# a prepona # = sqrt (z ^ 2 + 1) #

Z Trigonometrie: Vyvolávanie polovičných uhlov

#sin (w / 2) = sqrt ((1-cos w) / 2 #

# z / sqrt (z ^ 2 + 1) = sqrt ((1-cos w) / 2 #

riešenie #cos w #

#cos w = (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2) #

Tiež pomocou identity #sin ^ 2w = 1-cos ^ 2w #

z toho vyplýva

#sin w = (2z) / (1 + z ^ 2) #

integrál sa stáva

#int (dw) / (sin w-10 cos w) = int (2 * dz / (1 + z ^ 2)) / ((2z) / (1 + z ^ 2) -10 * (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2)) #

Zjednodušenie integrálnych výsledkov

#int (2 dz) / (2z-10 + 10z ^ 2) #

#int ((1/5) * dz) / (z ^ 2 + z / 5-1) #

Vyplnením štvorca:

#int ((1/5) * dz) / (z ^ 2 + z / 5 + 1 / 100-1 / 100-1) #

#int ((1/5) * dz) / ((z + 1/10) ^ 2-101 / 100) #

#int ((1/5) * dz) / ((z + 1/10) ^ 2- (sqrt101 / 10) ^ 2) #

Použite teraz vzorec #int (du) / (u ^ 2-a ^ 2) = 1 / (2a) * ln ((u-a) / (u + a)) + C #

nechať # U = z + 1/10 # a # A = sqrt101 / 10 # a vrátane späť # I = sqrt (-1) #

Konečnú odpoveď napíšte pomocou pôvodných premenných

# -sqrt (101) / 101i * ln ((10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1-sqrt101) / (10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) 1)) + 1 + sqrt101)) + C #