Prečo je druhá odmocnina 5 iracionálne číslo?

odpoveď:

Pozrite si vysvetlenie …

vysvetlenie:

Tu je náčrt dôkazu v rozpore:

predpokladať #sqrt (5) = p / q # pre niektoré kladné celé čísla # P # a # Q #.

Bez straty všeobecnosti môžeme predpokladať, že #p, q # sú najmenšie takéto čísla.

Potom podľa definície:

# 5 = (p / q) ^ 2 = p ^ 2 / q ^ 2 #

Vynásobte oba konce # Q ^ 2 # získať:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 #

tak # P ^ 2 # je deliteľné #5#.

Potom odvtedy #5# je prvoradý, # P # musí byť deliteľné #5# tiež.

tak #p = 5m # pre niektoré kladné celé číslo # M #.

Takže máme:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 = (5m) ^ 2 = 5 * 5 * m ^ 2 #

Rozdeľte oba konce podľa #5# získať:

# q ^ 2 = 5 m ^ 2 #

Rozdeľte oba konce podľa # M ^ 2 # získať:

# 5 = q ^ 2 / m ^ 2 = (q / m) ^ 2 #

tak #sqrt (5) = q / m #

teraz #p> q> m #, takže #q, m # je menší pár celých čísel, ktorých kvocient je #sqrt (5) #, čo je v rozpore s našou hypotézou.

Takže naša hypotéza, že #sqrt (5) # môže byť reprezentovaný # P / q # pre niektoré celé čísla # P # a # Q # je nepravdivé. To znamená, #sqrt (5) # nie je racionálna. To znamená, #sqrt (5) # je iracionálne.