Ako konvertujete r = 1 / (4 - costheta) do kartézskej formy?

odpoveď:

# 15 x ^ 2 - 2 x + 16 y ^ 2 = 1 #

vysvetlenie:

Hej, Socratic: Je to naozaj potrebné povedať nám to bolo pred 9 minútami? Nemám rád klamanie. Povedzte nám, že to bolo pred dvoma rokmi a nikto to ešte nedokázal urobiť. Tiež to, čo sa deje s podozrivo identicky formulovanými otázkami z viacerých miest? Nehovoriac o Santa Cruz, Spojené štáty? Je to takmer určite viac ako jeden, aj keď som počul ten v Kalifornii v peknom. Dôveryhodnosť a reputácia sú dôležité najmä v domácom prostredí. Nezavádzajte ľudí. Koniec výkyvu.

Pri konverzii rovníc z polárnych na obdĺžnikové súradnice hrubá sila obdĺžniková až polárna substitúcia

#r = sq {x ^ 2 + y ^ 2} #

#theta = text {arctan2} (y "/," x) quad #

je zriedkakedy najlepší prístup. (Úmyselne tu naznačujem, že štyri kvadranty sú inverzne tangentné, ale nenechajme sa odkloniť.)

V ideálnom prípade chceme použiť polárne až obdĺžnikové substitúcie, #x = r cos theta #

# y = r sin theta #

# x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + r ^ 2 sin ^ 2 theta = r ^ 2 #

Poďme sa pozrieť na otázku.

# r = 1 / {4 - cos theta} #

Tieto polárne rovnice všeobecne umožňujú negatívne # R #, ale sme si istí # R # je vždy pozitívny.

#r (4 - cos theta) = 1 #

Myslím si, že sú to elipsy, na ktorých nezáleží, ale dávame nám nejakú predstavu, ako vyzerá obdĺžniková forma. Chceme sa zamerať na niečo bez štvorcových koreňov alebo arctangentov # R = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} # má štvorcové korene, ale #rcos theta = x # nie, tak sa rozširujeme.

# 4r - rcos theta = 1 #

Teraz len nahrádzame; urobíme to v krokoch.

# 4r -x = 1 #

# 4r = x + 1 #

Začnime teraz. Vieme #r> 0 #

# 16 r ^ 2 = (x + 1) ^ 2 #

# 16 (x ^ 2 + y ^ 2) = (x + 1) ^ 2 = x ^ 2 + 2x + 1 #

# 15 x ^ 2 - 2 x + 16 y ^ 2 = 1 #

Toto je pekne kruhová elipsa. (Menšia konštanta ako #4# v origináli by to dalo viac výstrednej elipsy.) Námestie sme mohli dokončiť, aby sme ho dostali do štandardnej podoby, ale nechajme to tu.