X ^ 6 - 5x ^ 3 + 8 ................ (faktorizácia)?

odpoveď:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 = #

# (X ^ 2- (alfa + bar (alfa)), x + 2) (x ^ 2- (omegaalpha + omega ^ 2bar (alfa)), x + 2) (x ^ 2- (omega ^ 2alfa + omegabar (alfa)) x + 2) #

ako je popísané nižšie …

vysvetlenie:

Výstraha:

Táto odpoveď môže byť oveľa pokročilejšia, ako by ste mali vedieť.

Poznámky

Je možné zjednodušiť a nájsť:

# alfa + bar (alfa) = 1/2 (1 + sqrt (21)) #

# omegaalpha + omega ^ 2bar (alfa) = 1/2 (1-sqrt (21)) #

# omega ^ 2alfa + omegabar (alfa) = -1 #

ale nie je mi (zatiaľ) jasné, ako to najlepšie urobiť.

odpoveď:

# X ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2 + sqrt (21) / 2) x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2-sqrt (21) / 2) x + 2) #

vysvetlenie:

Tu je jednoduchšia metóda …

Vzhľadom na to:

# X ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

Vyhľadajte faktorizáciu formulára:

# X ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + alfax + 2) (x ^ 2 + betax + 2) (x ^ 2 + gammax + 2) #

# = X ^ 6 + (alfa + beta + gama) x ^ 5 + (Alphabet + betagamma + gammaalpha + 6) x ^ 4 + (2 (alfa + beta + gama) + alphabetagamma) x ^ 3 + (2 (Alphabet + + betagamma gammaalpha) 12) x ^ 2 + 4 (alfa + beta + gama) x + 8 #

Rovnocenné koeficienty nájdeme:

# {(alfa + beta + gamma = 0), (alfabeta + betagamma + gammaalfa = -6), (alphabetagamma = -5):} #

tak #alpha, beta, gama # sú nuly kubických:

# (X-alfa) (x-beta) (x-y) #

# = X ^ 3- (alfa + beta + gama) x ^ 2 + (Alphabet + betagamma + gammaalpha) x-alphabetagamma #

# = X ^ 3-6x + 5 #

Všimnite si, že súčet koeficientov tejto kocky je #0#, To je #1-6+5 = 0#.

z toho dôvodu # X = 1 # je nula a # (X-1) # faktor:

# x ^ 3-6x + 5 = (x-1) (x ^ 2 + x-5) #

Nula zostávajúcich kvadratických sa dá nájsť pomocou kvadratického vzorca ako:

#x = (-1 + -sqrt (1 ^ 2-4 (1) (- 5))) / (2 (1)) = 1/2 (-1 + -sqrt (21)) #

tak # {alfa, beta, gama} = {1, -1 / 2 + sqrt (21) / 2, -1 / 2-sqrt (21) / 2} #

takže:

# X ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2 + sqrt (21) / 2) x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2-sqrt (21) / 2) x + 2) #

prémia

Môžeme zovšeobecniť vyššie uvedené odvodenie?

# X ^ 6 + px ^ 3 + q ^ 3 #

# = (X ^ 2 + alphax + q) (x ^ 2 + Betaxa + q) (x ^ 2 + gammax + q) #

# = X ^ 6 + (alfa + beta + gama) x ^ 5 + (Alphabet + betagamma + gammaalpha + 3q) x ^ 4 + (q (alfa + beta + gama) + alphabetagamma) x ^ 3 + q (Alphabet + betagamma + gammaalpha + 3q) x ^ 2 + q ^ 2 (alfa + beta + gama) x + q ^ 3 #

Rovnocenné koeficienty:

# {(alfa + beta + gamma = 0), (alfabeta + betagamma + gammaalfa = -3q), (alphabetagamma = p):} #

z toho dôvodu #alpha, beta, gama # sú nuly:

# X ^ 3-3qx-p #

Ak teda nájdeme tri skutočné nuly tejto kubickej, potom máme faktorizáciu sextiky # X ^ 6 + px ^ 3 + q ^ 3 # do troch kvadratík s reálnymi koeficientmi.