X ^ 4-4x ^ 3 + x ^ 2 + 4x + 1 = 0. Ako vyriešiť x?

odpoveď:

# X = (1 + -sqrt5) / 2, x = (3 + -sqrt13) / 2 #

vysvetlenie:

Keďže táto kvartika nemá racionálne korene (a nemôžem sa obťažovať vzorcami), začíname pomocou Newtonovej metódy na aproximáciu koreňov:

# X ~~ -0,303 #

# X ~~ -0,618 #

# X ~~ 1.618 #

# X ~~ 3,303 #

Z toho zistíme, že # X ~~ -0,618 # a # X ~~ 1.618 # vyniknúť. Poznáme ich ako zlatý pomer:

# X = (1 + -sqrt5) / 2 #

Môžeme tiež overiť, že sú koreňmi tým, že ich zapojíme do rovnice, ale môžete len vziať moje slovo, že sú naozaj korene.

To znamená, že faktor rovnice je nasledovný:

# (X- (1 + sqrt5) / 2) (x- (1-sqrt5) / 2) = #

# = ((X-1/2) + sqrt5 / 2) ((x-1/2) -sqrt5 / 2) = #

# = (X-1/2) ^ 2- (sqrt5 / 2) ^ 2 = x ^ 2-x + 1 / 4-5 / 4 = #

# = X ^ 2-x-1 #

Pretože vieme # X ^ 2-x-1 # je faktor, môžeme použiť dlhé delenie polynómu, aby sme zistili zvyšok a prepísali rovnicu takto:

# (X ^ 2-x-1), (x ^ 2-3x-1) = 0 #

Už sme prišli na to, keď sa ľavý faktor rovná nule, takže sa teraz pozeráme vpravo. Kvadratické riešenie môžeme vyriešiť pomocou kvadratického vzorca, aby sme získali:

# X = (3 + -sqrt13) / 2 #