Ako riešite polynomickú nerovnosť a uveďte odpoveď v intervale, ktorá je daná x ^ 6 + x ^ 3> = 6?

odpoveď:

Nerovnosť je kvadratická vo forme.

vysvetlenie:

Krok 1: Na jednej strane požadujeme nulu.

# x ^ 6 + x ^ 3 - 6 ge 0 #

Krok 2: Keďže ľavá strana pozostáva z konštantného výrazu, stredného výrazu a termínu, ktorého exponent je presne dvojnásobný, v strednom termíne je táto rovnica kvadratická "vo forme". Buď to faktorom ako kvadratické, alebo používame kvadratický vzorec. V tomto prípade sme schopní faktor.

Len ako # y ^ 2 + y - 6 = (y + 3) (y - 2) #, teraz máme

# x ^ 6 + x ^ 3 - 6 = (x ^ 3 + 3) (x ^ 3 - 2) #.

Zaoberáme sa # X ^ 3 # akoby to bola jednoduchá premenná, y.

Ak je to užitočnejšie, môžete ho nahradiť #y = x ^ 3 #, potom vyriešiť pre y, a nakoniec nahradiť späť do x.

Krok 3: Nastavte každý faktor rovný nule a vyriešte rovnicu # x ^ 6 + x ^ 3 - 6 = 0 #, Zistíme, že ľavá strana sa rovná nule, pretože tieto hodnoty budú hranicami našej nerovnosti.

# x ^ 3 + 3 = 0 #

# x ^ 3 = -3 #

#x = -root (3) 3 #

# x ^ 3 -2 = 0 #

# x ^ 3 = -2 #

#x = root (3) 2 #

Toto sú dva skutočné korene rovnice.

Oddeľujú reálnu čiaru do troch intervalov:

# (- oo, -root (3) 3); (-root (3) 3, koreň (3) 2); a (koreň (3) 2, oo) #.

Krok 4: Určite znamenie ľavej strany nerovnosti v každom z vyššie uvedených intervalov.

Použitie testovacích bodov je obvyklá metóda. Vyberte hodnotu z každého intervalu a nahraďte ju x v ľavej časti nerovnosti. Môžeme si vybrať -2, potom 0 a potom 2.

Zistíte, že ľavá strana je

pozitívne # (- oo, -root (3) 3) #;

negatívne # (- root (3) 3, koreň (3) 2) #;

a pozitívne na # (root (3) 2, oo) #.

Krok 5: Dokončite problém.

Máme záujem vedieť, kde # x ^ 6 + x ^ 3 - 6 ge 0 #.

Teraz vieme, kde sa ľavá strana rovná 0 a vieme, kde je pozitívna. Tieto informácie napíšte v intervale ako:

# (- oo, -root (3) 3 uu root (3) 2, oo #.

POZNÁMKA: Máme závorky, pretože obe strany nerovnosti sú v týchto bodoch rovnaké a pôvodný problém vyžaduje, aby sme zahrnúť týchto hodnôt. Mal problém #># namiesto # Ge #použili by sme zátvorky.