# x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x ^ 3) ^ 2-2 (x ^ 3) + 1 # je vo forme # Y ^ 2-2y + 1 # kde #y = x ^ 3 #.
Tento kvadratický vzorec v # Y # faktory:
# y ^ 2-2y + 1 = (y-1) (y-1) = (y - 1) ^ 2 #
tak # x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x ^ 3 - 1) ^ 2 #
# x ^ 3 - 1 = (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) #
tak # x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) #
# = (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 #.
# X ^ 2 + x + 1 # nemá lineárne faktory s reálnymi koeficientmi. Ak chcete skontrolovať toto oznámenie, že má formulár # ax ^ 2 + bx + c #, ktorý má diskriminačný charakter:
#Delta = b ^ 2 - 4ac = 1 ^ 2 - 4 * 1 * 1 = 1 - 4 = -3 #
Byť negatívny, rovnica # x ^ 2 + x + 1 = 0 # nemá žiadne skutočné korene.
Jedným zo spôsobov kontroly odpovede je nahradiť hodnotu #X# to nie je koreň do oboch strán a uvidíme, či dostaneme rovnaký výsledok:
vyskúšať # X = 2 #:
# x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = 2 ^ 6-2x ^ 3 + 1 #
# = 64- (2xx8) +1 = 64-16 + 1 = 49 #
porovnávať:
# (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 = (2-1) ^ 2 (2 ^ 2 + 2 + 1) ^ 2 #
#1^2*7^2=49#
No, to fungovalo!
# x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # je pomerne ľahké faktor, pretože je to dokonalé námestie. Ako to poznám? Je to trojzložka vo forme # a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #a všetky trinomálie v tejto forme sú dokonalé štvorce.
Tento trojzložkový je dokonalým štvorcom # (x ^ 3 - 1) #, Ak chcete skontrolovať svoju prácu, budem pracovať dozadu:
# (x ^ 3 - 1) (x ^ 3 - 1) #
# = x ^ 6 - x ^ 3 - x ^ 3 + 1 #
# = x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #
Takže tento trojzložkový má faktory #1#, # x ^ 3 - 1 #a # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #.
Ako som však upozornil na mňa, # (x ^ 3 - 1) # faktory. Keďže ide o binomický formulár # a ^ 3 - b ^ 3 #môže byť tiež napísaný ako # (a - b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) #.
takže, # (x ^ 3 - 1) # faktory # (x - 1) # a # (x ^ 2 + x + 1) #, ktoré sú obe prvoradé.
Faktory # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # sú:
#1#
# X-1 #
# x ^ 2 + x + 1 #
# x ^ 3 - 1 #
# x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #
Konkrétnejšie, PRIME faktorizácia # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # je:
# (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 #
