Čo je druhá odmocnina 82?

odpoveď:

# 10> sqrt82> 9 #, # sqrt82 ~~ 9.0554 #

vysvetlenie:

#x_ "n + 1" = 1/2 (x_ "n" + S / x_ "n") -> sqrtS # pre #n -> oo #

S je číslo, z ktorého ste približovali jeho koreň sqaure. V tomto prípade # S = 82 #

Tu je to, čo to znamená a ako sa používa:

Po prvé, hádajte, čo by mohla byť druhá odmocnina 82?

druhá odmocnina 81 je 9, takže musí byť šikmo vyššia ako 9 vpravo?

Náš odhad bude #x_ "0" #, povedzme 9.2, #x_ "0" = 9,2 #

Vloženie 9.2 ako "x" do vzorca nám dá #x_ "0 + 1" = x_ "1" #

Toto bude ďalšie číslo, ktoré vložíme do rovnice. Je to preto, že sme začali s odhadom 9,2 = #x_ "0" #, to nám dalo číslo #x_ "1" #, vloženie tohto čísla nám dá #x_ "2" #, ktorý nám dá #x_ "3" # a tak ďalej, vždy, keď nám vložíme predchádzajúce číslo. Pravá strana rovnice označenej "#->#"znamená, že keď sa" n "zväčšuje a zväčšuje, číslo sa tiež približuje a približuje k druhej odmocnine S, v tomto prípade 82.

Povedzme, že sme urobili rovnaký výpočet 100 krát! Potom by sme mali #x_ "100" #, Toto číslo by bolo veľmi blízke druhej odmocnine S.

Dosť hovoriť, poďme urobiť nejaké skutočné výpočty!

Začneme s naším odhadom #x_ "0" = 9,2 #

#x_ "1" = 1/2 (9,2 + 82 / 9,2) ~ ~ 9.05652 #

Teraz urobte to isté s novým číslom: #x_ "2" = 1/2 (9.05652 + 82 / 9.05652) ~ ~ 9.05549 #

Urobme to naposledy: #x_ "3" = 1/2 (9.05549 + 82 / 9.05546) ~ ~ 9.0554 #

To znamená # Sqrt82 ~~ 9,0554 #

A máš to!

Ospravedlňujem sa, ak všetko moje rozprávanie bolo nepríjemné. Snažil som sa to vysvetliť do hĺbky a jednoduchým spôsobom, čo je vždy príjemné, ak nie ste veľmi oboznámení s určitou oblasťou matematiky. Nevidím, prečo niektorí ľudia musia byť tak nóbl pri vysvetľovaní matematiky:)

odpoveď:

#sqrt (82) = 9 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + …)))) ~ ~ 9.0553851381374 #

vysvetlenie:

Primárna faktorizácia spoločnosti #82# je:

#82 = 2*41#

Keďže neexistujú žiadne hraničné faktory, #sqrt (82) # nemožno zjednodušiť. Je to iracionálne číslo o niečo väčšie ako #9#.

Všimnite si však, že #82=81+1 = 9^2+1#.

Pretože toto je forma # N ^ 2 + 1 #, druhá odmocnina má veľmi pravidelnú formu ako pokračujúci zlomok:

#sqrt (82) = 9; bar (18) = 9 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + …)))) # #

Viac všeobecne:

#sqrt (n ^ 2 + 1) = n; bar (2n) = n + 1 / (2n + 1 / (2n + 1 / (2n + 1 / (2n + …)))) # #

Všeobecnejšie:

#sqrt (n ^ 2 + m) = n + m / (2n + m / (2n + m / (2n + m / (2n + …)))) #)

V každom prípade môžeme použiť pokračujúci zlomok na získanie racionálnych aproximácií #sqrt (82) # skrátením.

Napríklad:

#sqrt (82) ~ ~ 9; 18 = 9 + 1/18 = 163/18 = 9,0bar (5) #

#sqrt (82) ~ 9; 18,18 = 9 + 1 / (18 + 1/18) = 2943/325 = 9,05bar (538461) #

#sqrt (82) ~ 9; 18,18,18 = 9 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1/18)) = 53137/5868 ~ ~ 9,05538513974 #

Kalkulačka mi hovorí, že:

#sqrt (82) ~ ~ 9.0553851381374 #

Takže môžete vidieť, že naše aproximácie sú presné na približne toľko platných číslic ako celkový počet číslic v kvociente.