Ako nájdem integrálnu int (x * e ^ -x) dx?

#int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C #

postup:

#int x e ^ (- x) dx = # ?

Tento integrál si vyžaduje integráciu častí. Majte na pamäti vzorec:

#int u dv = uv - int v du #

Pustíme #u = x #a #dv = e ^ (- x) dx #.

Z tohto dôvodu #du = dx #, nález # V # bude vyžadovať # U #-substitucí; Budem list používať # Q # namiesto # U # pretože už používame # U # integráciu podľa vzorca.

#v = int e ^ (- x) dx #

nechať #q = -x #.

takto, #dq = -dx #

Integrál prepíšeme pridaním dvoch negatívov # Dq #:

#v = -int -e ^ (- x) dx #

Napísané v termínoch # Q #:

#v = -int e ^ (q) dq #

Z tohto dôvodu

#v = -e ^ (q) #

Náhrada za # Q # dáva nám:

#v = -e ^ (- x) #

Keď sa pozrieme späť na vzorec IBP, máme všetko, čo potrebujeme na to, aby sme začali nahrádzať:

#int xe ^ (- x) dx = x * (- e ^ (- x)) - int -e ^ (- x) dx #

Zjednodušenie, zrušenie dvoch negatívov:

#int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) + int e ^ (- x) dx #

Tento druhý integrál by mal byť ľahko riešiteľný - je to rovnaké # V #, ktoré sme už našli. Jednoducho nahradiť, ale nezabudnite pridať konštantu integrácie:

#int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C #

Ako nájdem integrálny int (ln (x)) ^ 2dx?

Naším cieľom je znížiť výkon ln x tak, aby sa integrál ľahšie vyhodnotil. Môžeme to dosiahnuť integráciou častí. Majte na pamäti vzorec IBP: int u dv = uv - int v du Teraz budeme u = (lnx) ^ 2 a dv = dx. Preto du = (2lnx) / x dx a v = x. Teraz, zostavenie kusov dohromady, dostaneme: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx Tento nový integrál vyzerá oveľa lepšie! Zjednodušenie trochu, a prináša konštantu von, výnosy: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx Teraz, aby sme sa zbavili tohto ďalšieho integrálu, urobíme druhú in

Ako nájdem integrálnu int (x * cos (5x)) dx?

Budeme mať na pamäti vzorec pre integráciu časťami, čo je: int u dv = uv - int v du Aby sme našli tento integrál úspešne, necháme u = x a dv = cos 5x dx. Preto du = dx a v = 1/5 sin 5x. (v možno nájsť pomocou rýchleho u-substitúcie) Dôvod, prečo som si vybral x pre hodnotu u, je preto, že viem, že neskôr skončím integráciou v násobená u deriváciou. Pretože derivácia u je len 1, a pretože integrácia trigonálnej funkcie sama o sebe nie je zložitejšia, účinne sme odstránili x z integrandu a teraz sa musíme starať len o s&#

Ako nájdem integrálnu int (x * ln (x)) dx?

Použijeme integráciu po častiach. Zapamätajte si vzorec IBP, ktorý je int u dv = uv - int v du Let u = ln x a dv = x dx. Vybrali sme tieto hodnoty, pretože vieme, že derivácia ln x sa rovná 1 / x, čo znamená, že namiesto integrácie niečoho komplexného (prirodzený logaritmus) teraz skončíme s integráciou niečoho veľmi jednoduchého. (polynóm) Tak, du = 1 / x dx, a v = x ^ 2 / 2. Zapojenie do vzorca IBP nám dáva: int x ln x dx = (x ^ 2 ln x) / 2 - int x ^ 2 / (2x) dx x sa vypne z nového integrandu: int x ln x dx = (x ^ 2 ln x) / 2 - int x / 2 dx R