Ako nájdem integrálnu int (x * cos (5x)) dx?

Budeme mať na pamäti vzorec pre integráciu po častiach, ktorým je:

#int u dv = uv - int v du #

Aby sme tento integrál úspešne našli, necháme #u = x #a #dv = cos 5x dx #, Z tohto dôvodu #du = dx # a #v = 1/5 hriech 5x #. (# V # možno nájsť pomocou rýchle # U #-substitucí)

Dôvod, prečo som sa rozhodol #X# pre hodnotu # U # Je to preto, lebo viem, že neskôr budem integrovaný # V # vynásobeny # U #derivát. Vzhľadom k tomu, derivát # U # je len #1#a keďže integrácia funkcie trigonometra sama o sebe nie je zložitejšia, efektívne sme ju odstránili #X# od integrandu a teraz sa musí starať len o sínus.

Ak sa teda pripojíme k vzorcu IBP, dostaneme:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - int 1/5 sin 5x dx #

Ťahanie #1/5# z integrálu nám dáva:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/5 int sin 5x dx #

Integrácia sínus bude trvať len # U #-substitucí. Pretože sme už použili # U # pre vzorec IBP použijem tento list # Q # miesto:

#q = 5x #

#dq = 5 dx #

Ak chcete získať # 5 dx # vnútri integrálu znásobím integrál iným #1/5#:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/25 int 5sin 5x dx #

A nahradiť všetko, čo sa týka # Q #:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/25 int sinq * dq #

Vieme, že integrál # # Sin je # # -Cos, takže môžeme ľahko dokončiť tento integrál. Zapamätajte si konštantu integrácie:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 + 1/25 cos q + C #

Teraz jednoducho nahradíme späť # Q #:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 + (cos 5x) / 25 + C #

A je tu náš integrál.

Ako nájdem integrálny int (ln (x)) ^ 2dx?

Naším cieľom je znížiť výkon ln x tak, aby sa integrál ľahšie vyhodnotil. Môžeme to dosiahnuť integráciou častí. Majte na pamäti vzorec IBP: int u dv = uv - int v du Teraz budeme u = (lnx) ^ 2 a dv = dx. Preto du = (2lnx) / x dx a v = x. Teraz, zostavenie kusov dohromady, dostaneme: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx Tento nový integrál vyzerá oveľa lepšie! Zjednodušenie trochu, a prináša konštantu von, výnosy: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx Teraz, aby sme sa zbavili tohto ďalšieho integrálu, urobíme druhú in

Ako nájdem integrálnu int (x * e ^ -x) dx?

Int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C Proces: int x e ^ (- x) dx =? Tento integrál si vyžaduje integráciu častí. Majte na pamäti vzorec: int u dv = uv - int v du Budeme u = x a dv = e ^ (- x) dx. Preto du = dx. Hľadanie v bude vyžadovať substitúciu u; Budem používať písmeno q namiesto u, pretože už používame u v integrácii podľa vzorca. v = int e ^ (- x) dx nechajte q = -x. teda, dq = -dx Prepíšeme integrál, pridáme dve negatívy, aby sme sa prispôsobili dq: v = -int -e ^ (- x) dx Napísali termíny q: v = -int e ^ (q) dq Preto v. = -e ^

Ako nájdem integrálnu int (x * ln (x)) dx?

Použijeme integráciu po častiach. Zapamätajte si vzorec IBP, ktorý je int u dv = uv - int v du Let u = ln x a dv = x dx. Vybrali sme tieto hodnoty, pretože vieme, že derivácia ln x sa rovná 1 / x, čo znamená, že namiesto integrácie niečoho komplexného (prirodzený logaritmus) teraz skončíme s integráciou niečoho veľmi jednoduchého. (polynóm) Tak, du = 1 / x dx, a v = x ^ 2 / 2. Zapojenie do vzorca IBP nám dáva: int x ln x dx = (x ^ 2 ln x) / 2 - int x ^ 2 / (2x) dx x sa vypne z nového integrandu: int x ln x dx = (x ^ 2 ln x) / 2 - int x / 2 dx R