Vyriešte pre x v RR rovnicu sqrt (x + 3-4sqrt (x-1)) + sqrt (x + 8-6sqrt (x-1)) = 1?

odpoveď:

#xv 5, 10 #

vysvetlenie:

nechať # U = x-1 #, Potom môžeme ľavú stranu rovnice prepísať ako

#sqrt (u + 4-4sqrt (u)) + sqrt (u + 9-6sqrt (u)) #

# = sqrt ((sqrt (u) -2) ^ 2) + sqrt ((sqrt (u) -3) ^ 2) #

# = | Sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 |

Všimnite si prítomnosť #sqrt (u) # v rovnici a že hľadáme iba skutočné hodnoty, takže máme obmedzenie #u> = 0 #, Teraz zvážime všetky zostávajúce prípady:

Prípad 1: # 0 <= u <= 4 #

# | Sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => 2-sqrt (u) + 3-sqrt (2) = 1 #

# => -2sqrt (u) = -4 #

# => sqrt (u) = 2 #

# => u = 4 #

teda # U = 4 # je jediné riešenie v intervale #0, 4#

Prípad 2: # 4 <= u <= 9 #

# | Sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => sqrt (u) -2 + 3 - sqrt (u) = 1 #

#=> 1=1#

Pretože toto je tautológia, každá hodnota v #4, 9# je riešenie.

Prípad 3: #u> = 9 #

# | Sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => sqrt (u) - 2 + sqrt (u) - 3 = 1 #

# => 2sqrt (u) = 6 #

# => sqrt (u) = 3 #

# => u = 9 #

teda #u = 9 # je jediné riešenie v intervale # 9, oo #

Spolu, máme #4, 9# ako riešenie pre reálne hodnoty # U #, Nahradenie v #x = u + 1 #, dorazíme na konečný súbor riešení #xv 5, 10 #

Pri pohľade na graf na ľavej strane sa zhoduje s tým, čo by sme očakávali: