Vyriešte nasledujúcu rovnicu: (x ^ 2-2) / 3 + ((x ^ 2-1) / 5) ^ 2 = 7/9 (x ^ 2-2)?

odpoveď:

# X = -sqrt11, -sqrt19 / 3, sqrt19 / 3, sqrt11 #

Toto vysvetlenie poskytuje skôr hĺbkovú metódu na určenie krokov na nájdenie možných faktorov, do ktorých by sa dala prepísať kvadratická rovnica tak, aby bola riešiteľná bez kvadratickej rovnice a / alebo kalkulačky.

vysvetlenie:

Najprv označte výraz na ľavej strane rovnice.

# (X ^ 2-2) / 3 + (x ^ 2-1) ^ 2/25 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Rozbaľte štvorcový binomický. Pripomeňme, že # (X ^ 2-1) ^ 2 = (x ^ 2-1) (x ^ 2-1) #.

# (X ^ 2-2) / 3 + (x ^ 4-2x ^ 2 + 1) / 25 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Frakcie môžeme vymazať vynásobením rovnice najmenším spoločným menovateľom #3,25,# a #9,# ktorý je #225#.

Poznač si to #225=3^2*5^2#, takže #225/3=75#, #225/25=9#a #225/9=25#.

Násobenie prostredníctvom #225# dodáva:

# 75 (x ^ 2-2) 9 (x ^ 4-2x ^ 2 + 1) = 25 (7), (x ^ 2-2) #

Rozdeľte každú multiplikatívnu konštantu.

# 75x ^ 2-150 + 9x ^ 4-18x ^ 2 + 9 = 175x ^ 2-350 #

Presuňte všetky výrazy na jednu stranu a usporiadajte rovnicu.

# 9x ^ 4-118x ^ 2 + 209 = 0 #

To má potenciál byť faktorable: nedostatok # X ^ 3 # a #X# znamená, že to môže byť možné zapracovať do formulára # (X ^ 2 + a) (x ^ 2 + b) #.

Ak chcete otestovať faktory, všimnite si, že by sme mali nájsť pár celých čísel, ktorých produkt je súčinom prvých a konečných koeficientov, čo je # 9xx209 = 3 ^ 2 * 11 * 19 #, Rovnaké celé čísla, ktorých produkt je #3^2*11*19# by mal mať súčet #-118#.

Vzhľadom k tomu, že produkt je pozitívny a súčet je záporný, vieme, že obe čísla budú pozitívne.

Trik je teraz nájsť nejakú kombináciu čísel, ktorá pochádza z #3^2*11*19# ktorých suma je #118#, (Ak nájdeme pozitívnu verziu, môžeme ľahko prepnúť obe čísla do ich negatívnej podoby.)

Mali by sme sa pokúsiť vymyslieť zoskupenia faktorov #3^2*11*19# ktoré neprekračujú #118#.

Môžeme preventívne eliminovať možnosť #3^2*19# a #11*19# vyskytujúce sa buď ako jeden z našich dvoch celých čísel, pretože obidva z nich sú väčšie ako #118#, Ak sa teda zameriame na #19# keďže je to najväčší faktor, vieme, že bude existovať len ako jeden #19# alebo #3*19#.

Naše dve možnosti pre celé čísla sú:

# {:(bb "Integer 1", "", bb "Integer 2", "", bb "Sum"), (19, "", 3 ^ 2 * 11 = 99, "", 118), (19) * 3 = 57, "", 3 * 11 = 33, "", 90):} #

Preto náš pár čísel, ktorých produkt je #3^2*11*19# a suma je #118# je #19# a #99#.

Z toho môžeme písať kvartiku ako:

# 9x ^ 4-118x ^ 2 + 209 = 9 x ^ 4-99x ^ 2-19x ^ 2 + 209 #

Faktor podľa zoskupenia:

# 9x ^ 2 (x ^ 2-11) -19 (x ^ 2-11) = (9x ^ 2-19) (x ^ 2-11) = 0 #

Rozdeliť na dve rovnice:

# 9x ^ 2-19 = 0 "" => "" x ^ 2 = 19/9 "" => "" x = + - sqrt19 / 3 #

# x ^ 2-11 = 0 "" => "" x ^ 2 = 11 "" => "" x = + - sqrt11 #

odpoveď:

Rovnice s zlomkami vždy vyzerajú horšie ako sú. Pokiaľ máte rovnicu a nie výraz, môžete sa zbaviť menovateľov tým, že ich vynásobíte pomocou LCM menovateľov.

vysvetlenie:

# (x ^ 2 -2) / 3 + ((x ^ 2-1) / 5) ^ 2 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Začnime tým, že pomenujeme menovateľa v druhom funkčnom období.

# (x ^ 2 -2) / 3 + ((x ^ 2-1) ^ 2) / 25 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Teraz vynásobte každý termín 225, aby ste zrušili menovateľov.

#cancel (225) ^ 75xx ((x ^ 2 -2)) / cancel3 + zrušiť (225) ^ 9 ((x ^ 2-1) ^ 2) / cancel25 = zrušiť (225) ^ 25xx7 / cancel9 (x ^ 2-2) #

# 75 (x ^ 2 -2) + 9 (x ^ 2-1) ^ 2 = 175 (x ^ 2-2) #

Je to zjavne kvadratické, takže sa rovná 0.

# 75 (x ^ 2 -2) + 9 (x ^ 2-1) ^ 2 - 175 (x ^ 2-2) = 0 #

Všimnite si, že prvý a tretí termín sú ako výrazy, takže ich môžeme pridať spolu. Tiež námestie stredného obdobia.

# 9 (x ^ 4 - 2x ^ 2 +1) -100 (x ^ 2 -2) + = 0 #

Odstráňte zátvorky podľa distribučného zákona:

# 9x ^ 4 - 18x ^ 2 +9 -100x ^ 2 + 200 = 0 #

zjednoduší: # 9x ^ 4 - 118x ^ 2 + 209 = 0 #

Skúmanie faktorov 9 a 209 vedie k

9 = 3x3, alebo 9x1 a 209 = 11 x 19

Kombinácia faktorov, ktorá predstavuje 118, predstavuje 99 + 19

Faktorizácia dáva # (x ^ 2 - 11) (9x ^ 2-19) = 0 #

ak # x ^ 2 - 11 = 0 #

# x ^ 2 = 11 #

# x = + -sqrt11 #

ak # 9x ^ 2- 19 = 0 #

# 9x ^ 2 = 19 #

# x ^ 2 = 19/9 #

# x = (+ -sqrt19) / 3 #