Ako vyriešite arcsin (x) + arcsin (2x) = pi / 3?

odpoveď:

# X = sqrt ((- 7 + sqrt (73)) / 16) #

vysvetlenie:

#arcsin (x) + arcsin (2x) = pi / 3 #

Začnite tým, že necháte # alpha = arcsin (x) "" # a # "" beta = arcsin (2x) #

#COLOR (čierna) alfa # a #COLOR (black) beta # predstavujú len uhly.

Takže máme: # Alfa + p = pi / 3 #

# => Sin (alfa) = x #

#cos (alfa) = sqrt (1-sin ^ 2 (alfa)) = sqrt (1-x ^ 2) #

podobne

#sin (beta) = 2x #

#cos (beta) = sqrt (1-sin ^ 2 (beta)) = sqrt (1- (2 x) ^ 2) = sqrt (1-4x ^ 2) #

#COLOR (biela) #

Potom zvážte

# Alfa + p = pi / 3 #

# => Cos (alfa + beta) = cos (pi / 3) #

# => Cos (alfa) cos (beta) -sin (alfa) sin (beta) = 1/2 #

# => Sqrt (1-x ^ 2) * sqrt (1-4x ^ 2) - (x) * (2 x) = 1/2 #

# => Sqrt (1-4x ^ 2 x ^ 2-4x ^ 4) = 2x ^ 2 + 1/2 #

# => Sqrt (1-4x ^ 2x ^ 2-4x ^ 4) ^ 2 = 2x ^ 2 + 1/2 ^ 2 #

# => 1-5x ^ 2-4x ^ 4 = 4x ^ 4 + 2x ^ 2 + 1/4 #

# => 8x ^ 4 + 7x ^ 2-3 / 4 = 0 #

# => 32 x ^ 4 + 28x ^ 2-3 = 0 #

Teraz aplikujte kvadratický vzorec v premennej # X ^ 2 #

# => X ^ 2 = (- 28 + -sqrt (784 + 384)) / 64 = (- 28 + -sqrt (1168)) / 64 = (- 28 + -sqrt (16 * 73)) / 64 = (-7 + -sqrt (73)) / # 16

# => X = + - sqrt ((- 7 + -sqrt (73)) / 16) #

#COLOR (biela) #

Nepodarené prípady:

#color (červená) ((1) ".." ##X = + - sqrt ((- 7-sqrt (73)) / 16) #

má byť zamietnuté, pretože riešenie je komplexné # inZZ #

#color (červená) ((2) ".." ## X = -sqrt ((- 7 + sqrt (73)) / 16) #

je zamietnutý, pretože roztok je negatívny. kdežto # Pi / 3 # je pozitívny.