Aký je všeobecný vzorec pre diskriminačného polynómu stupňa n?

odpoveď:

Pozrite si vysvetlenie …

vysvetlenie:

Diskriminačný polynóm # F (x) # stupňa # N # môže byť opísaný pomocou determinantu Sylvesterovej matice # F (x) # a # F '(x) # nasledovne:

Vzhľadom na to:

#f (x) = a_nx ^ n + a_ (n-1) x ^ (n-1) + … + a_1x + a_0 #

Máme:

#f '(x) = na_ (n-1) x ^ (n-1) + (n-1) a_ (n-1) x ^ (n-2) + … + a_1 #

Sylvesterova matica # F (x) # a # F '(x) # je a # (2-n-1) XX (2-n-1) # matica vytvorená pomocou ich koeficientov, podobná nasledujúcemu príkladu pre # N = 4 # …

# ((a_4, a_3, a_2, a1, a_0, 0, 0), (0, a_4, a_3, a_2, a_1, a_0, 0), (0, 0, a_4, a_3, a_2, a_1, a_3, a_2, a_1, a_0), (4a_4, 3a_3, 2a_2, a1, 0, 0, 0), (0,4a_4,3a_3,2a_2, a_1,0,0), (0, 0, 4a_4, 3a_3, 2a_2, a_1, 0), (0, 0, 0, 4a_4,3a_3,2a_2, a_1)) #

Potom diskriminant # Delta # je daná v zmysle determinantu Sylvesterovej matice pomocou vzorca:

#Delta = (-1) ^ (1 / 2n (n-1)) / a_nabs (S_n) #

pre # N = 2 # máme:

#Delta = (-1) / a_2abs ((a_2, a_1, a_0), (2a_2, a_1,0), (0,2a_2, a_1)) = a_1 ^ 2-4a_2a_0 #

(čo by ste mohli vo formulári nájsť viac rozpoznateľné) #Delta = b ^ 2-4ac #)

pre # N = 3 # máme:

#Delta = (-1) / a_3abs ((a_3, a_2, a_1, a_0, 0), (0, a_3, a_2, a_1, a_0), (3a_3, 2a_2, a_1, 0, 0), (0, 3a_3, 2a_2, a_1, 0), (0, 0, 3a_3, 2a_2, a_1)) #

#color (biela) (Delta) = a_2 ^ 2a_1 ^ 2-4a_3a_1 ^ 3-4a_2 ^ 3a_0-27a_3 ^ 2a_0 ^ 2 + 18a_3a_2a_1a_0 #

Diskriminanti pre kvadratiku (# N = 2 #) a kocky (# N = 3 #) sú najužitočnejšie v tom, že vám presne povedia, koľko reálnych, opakovaných alebo nereálnych komplexných núl polynómu má.

Interpretácia diskriminacie pre polynómy vyššieho rádu je obmedzenejšia, ale vždy má tú vlastnosť, že polynóm opakoval nuly, len ak je diskriminačný nula.

#COLOR (biely) () #

Ďalšie čítanie

Pozri