Prepíšte rovnicu v otočenom systéme x'y 'bez výrazu x'y'. Môžem dostať nejakú pomoc? Vďaka!

odpoveď:

Druhý výber:

# X ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

vysvetlenie:

Daná rovnica

# 31x ^ 2 + 10sqrt3xy + 21y ^ 2-144 = 0 "1" #

je vo všeobecnej karteziánskej forme pre kužeľovú časť:

# Ax ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 #

kde # A = 31, B = 10sqrt3, C = 21, D = 0, E = 0 a F = -144 #

Referencia Rotation of Axes nám dáva rovnice, ktoré nám umožňujú otočiť kužeľovú sekciu na určitý uhol, # # Theta, Tiež nám dáva rovnicu, ktorá nám umožňuje vynútiť koeficient # # Xy stať sa 0.

#theta = 1 / 2tan ^ -1 (B / (C-A)) #

Nahradenie hodnôt z rovnice 1:

#theta = 1 / 2tan ^ -1 ((10sqrt3) / (21-31)) #

zjednoduší:

#theta = 1 / 2tan ^ -1 (-sqrt3) #

#theta = -pi / 6 #

Použite rovnicu (9.4.4b) na overenie, či nové otáčanie spôsobuje koeficient # # Xy termín je 0:

#B '= (A-C) sin (2theta) + B cos (2theta) #

#B '= (31-21) sin (2 (-pi / 6)) + 10sqrt3cos (2 (-pi / 6)) #

#B '= 0 larr # overená.

Na výpočet použite rovnicu (9.4.4a) # A '#:

#A '= (A + C) / 2 + (A - C) / 2 cos (2theta) - B / 2 sin (2theta) #

#A '= (31 + 21) / 2 + (31 - 21) / 2 cos (2 (-pi / 6)) - (10sqrt3) / 2 sin (2 (-pi / 6)) #

#A '= 36 #

Na výpočet použite rovnicu (9.4.4c) # C '#:

# C '= (A + C) / 2 + (C-A) / 2 cos (2theta) + B / 2 sin (2theta) #

# C '= (31 + 21) / 2 + (21 - 31) / 2 cos (2 (-pi / 6)) + (10sqrt3) / 2 sin (2 (-pi / 6)) #

#C '= 16 #

Na výpočet použite rovnicu (9.4.4f) # F '#

#F '= F #

#F '= -144 #

Teraz môžeme napísať neotvorený formulár:

# 36x ^ 2 + 16y ^ 2-144 = 0 #

Rozdeľte obe strany 144:

# x ^ 2/4 + y ^ 2 / 9-1 = 0 #

Pridať 1 na obe strany:

# X ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

odpoveď:

Možnosť B

vysvetlenie:

Rovnicu môžeme napísať vo forme matice a potom ju otočiť na jej hlavnú os.

nech:

#bb x ^ T M bb x = x, y (a, b), (b, c) (x), (y) = Q #

# = (x, y) (ax + b y), (bx + cy) = Q #

# = ax ^ 2 + 2b xy + cy ^ 2 = Q #

#impluje a = 31, d = 5 sqrt3, c = 21, Q = 144 #

A tak vo forme matice:

#bb x ^ T (31, 5 sqrt3), (5 sqrt3, 21) bb x = 144 qquad square #

Otáčanie osí # # BBX podľa # # Theta:

#bb x ^ '= R (theta) bb x #

• #implies bbx = R ^ (- 1) bbx ^ '#

transpozícia #bb x ^ '= R bb x #:

#implies bb x ^ ('^ T) = (R bbx) ^ T = bb x ^ T R ^ T #

#implies bb x ^ ('^ T) = bb x ^ T R ^ (- 1) #, pretože R je kolmý

• #implies bb x ^ ('^ T) R = bb x ^ T #

Uvedenie týchto posledných 2 výsledkov do #námestie#:

#bb x ^ ('^ T) R (31, 5 sqrt3), (5 sqrt3, 21) R ^ (- 1) bb x ^' = 144 #

IOW ak R je matica, ktorá diagonalizuje M, potom máme rovnicu v zmysle jej hlavných osí pre diagonálnu maticu vlastného vektora D, tj:

• #D = R M R ^ (- 1) #

M vlastné hodnoty sú 36 a 16, takže môže byť diagonalizovaná ako:

#bb x ^ ('^ T) D bb x ^' = bb x ^ ('^ T) (36, 0), (0, 16) bb x ^' = 144 #

# (x ', y') (9, 0), (0, 4) ((x '), (y')) = 36 #

#x ^ ('^ 2) / 4 + y ^ (' ^ 2) / 9 = 1 #