Existujú tri po sebe idúce celé čísla. ak súčet recipročných hodnôt druhého a tretieho čísla je (7/12), aké sú tri celé čísla?

odpoveď:

#2, 3, 4#

vysvetlenie:

nechať # N # byť prvé celé číslo. Potom sú tri po sebe idúce celé čísla:

#n, n + 1, n + 2 #

Súčet recipročných hodnôt 2. a 3.:

# 1 / (n + 1) + 1 / (n + 2) = 7/12 #

Pridanie zlomkov:

# ((N + 2) + (n + 1)) / ((n + 1) (n + 2)) = 7/12 #

Vynásobiť číslom 12:

# (12 ((n + 2) + (n + 1))) / ((n + 1) (n + 2)) = 7 #

Vynásobte číslom # ((N + 1) (n + 2)) #

# (12 ((n + 2) + (n + 1))) = 7 ((n + 1) (n + 2)) #

rozširovanie:

# 12n + 24 + 12n + 12 = 7 N ^ 2 + 21N + 14 #

Zbieranie podobných výrazov a zjednodušenie:

# 7N ^ 2-3n-22 = 0 #

Factor:

# (7n + 11) (n-2) = 0 => n = -11 / 7 a n = 2 #

iba # N = 2 # je platné, pretože požadujeme celé čísla.

Čísla sú teda:

#2, 3, 4#

Súčet recipročných hodnôt dvoch po sebe idúcich celých čísel je 9/40, aké sú celé čísla?

Ak je menšie z dvoch po sebe idúcich celých čísel x, potom sa nám povie, že farba (červená) (1 / x) + farba (modrá) (1 / (x + 2)) = 9/40 So farba (biela) ( "XXXXX") generovanie spoločného menovateľa na ľavej strane: [farba (červená) (1 / x * (x + 2) / (x + 2))] + [farba (modrá) (1 / (x + 2) * (x / x))] = 9/40 [farba (červená) ((x + 2) / (x ^ 2 + 2x))] + [farba (modrá) ((x) / (x ^ 2 + 2x ))] = 9/40 (farba (červená) ((x + 2)) + farba (modrá) ((x))) / (x ^ 2 + 2x) = 9/40 (2x + 2) / (x ^ 2 + 2x) = 9/40 (40) (2) (x + 1) = 9 (x ^ 2 + 2x) 80x + 80 = 9x ^ 2

Tri po sebe idúce nepárne celé čísla sú také, že štvorec tretieho čísla je o 345 menej ako súčet štvorcov prvých dvoch. Ako zistíte celé čísla?

Existujú dve riešenia: 21, 23, 25 alebo -17, -15, -13 Ak je najmenšie číslo n, potom ostatné sú n + 2 a n + 4 Interpretácia otázky, máme: (n + 4) ^ 2 = n ^ 2 + (n + 2) ^ 2-345, ktoré sa rozširuje na: n ^ 2 + 8n + 16 = n ^ 2 + n ^ 2 + 4n + 4 - 345 farieb (biela) (n ^ 2 + 8n +16) = 2n ^ 2 + 4n-341 Odčítanie n ^ 2 + 8n + 16 od oboch koncov, nájdeme: 0 = n ^ 2-4n-357 farba (biela) (0) = n ^ 2-4n + 4 -361 farba (biela) (0) = (n-2) ^ 2-19 ^ 2 farba (biela) (0) = ((n-2) -19) ((n-2) +19) farba (biela ) (0) = (n-21) (n + 17) So: n = 21 "" alebo "" n = -17 a tri c

Poznajúc vzorec k súčtu N celých čísel a) čo je súčet prvých N po sebe idúcich štvorcových celých čísel, Sigma_ (k = 1) ^ N k ^ 2 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + cdots + (N-1 ) ^ 2 + N ^ 2? b) Súčet prvých N po sebe idúcich celých čísel kocky Sigma_ (k = 1) ^ N k ^ 3?

Pre S_k (n) = sum_ {i = 0} ^ ni ^ k S_1 (n) = (n (n + 1)) / 2 S_2 (n) = 1/6 n (1 + n) (1 + 2 n ) S_3 (n) = ((n + 1) ^ 4- (n + 1) -6S_2 (n) -4S_1 (n)) / 4 Máme sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 = sum_ {i = 0} ^ n (i + 1) ^ 3 - (n + 1) ^ 3 sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 = sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 + 3sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 + 3sum_ {i = 0} ^ ni + sum_ {i = 0} ^ n 1- (n + 1) ^ 3 0 = 3sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 + 3sum_ {i = 0} ^ ni + sum_ {i = 0} ^ n 1- (n + 1) ^ 3 riešenie pre sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 = (n + 1) ^ 3 / 3- (n + 1) / 3-sum_ {i = 0} ^ ni ale sum_ {i = 0} ^ ni = ((n + 1) n) / 2 so sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 = (n +1) ^ 3 / 3- (n