Kruh A má stred (6, 5) a plochu 6 pi. Kruh B má stred (12, 7) a plochu 48 pi. Prekrývajú sa kruhy?

odpoveď:

od tej doby

# (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 quad # a

#4(6)(48) - (40 - 6 - 48)^2 = 956 > 0 #

môžeme vytvoriť skutočný trojuholník so štvorcami 48, 6 a 40, takže tieto kruhy sa pretínajú.

vysvetlenie:

Prečo bezdôvodné # # Pi?

Táto oblasť je #A = pi r ^ 2 # tak # R ^ 2 = A / pi. # Takže prvý kruh má polomer # R_1 = sqrt {6} # a druhý # r_2 = sqrt {48} = 4 sqrt {3} #.

Centrá sú #sqrt {(12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2} = sqrt {40} = 2 sqrt {10} # od seba.

Takže kruhy sa prekrývajú, ak #sqrt {6} + 4 sqrt {3} ge 2 sqrt {10} #.

To je tak škaredé, že by ste boli odpustení za dosiahnutie kalkulačky. Ale naozaj to nie je nevyhnutné. Pozrime sa na obchádzku a pozrite sa, ako sa to robí pomocou racionálnej trigonometrie. Týka sa to len štvorcových dĺžok quadrances.

Povedzme, že chceme otestovať tri kvadranty # A, B, C # sú štvoruholníky medzi tromi kolineárnymi bodmi, t.j. #sqrt {A} = sqrt {B} + sqrt {C} # alebo #sqrt {B} = sqrt {A} + sqrt {C}, # alebo #sqrt {C} = sqrt {A} + sqrt {B} #, Píšeme to ako

# pm sqrt {C} = pm sqrt {A} pm sqrt {B} #

kvadratúra, #C = A + B pm 2 sqrt {AB} #

#C - A-B = pm 2 sqrt {AB} #

Opätovné umiestnenie, # (C-A-B) ^ 2 = 4AB #

# 0 = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

Ukázalo sa

#mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

je a diskriminačné pre trojuholníky. Práve sme ukázali, či #mathcal {A} = 0 # to znamená, že máme degenerovaný trojuholník, z troch kolineárnych bodov. ak #mathcal {A}> 0 # potom máme skutočný trojuholník, každej strane menej ako súčet ostatných dvoch. ak #mathcal {A} <0 # Nemáme strany, ktoré by vyhovovali nerovnosti trojuholníka, a niekedy to nazývame imaginárny trojuholník.

Vráťme sa k našej otázke vyzbrojenej novým diskriminačným trojuholníkom #mathcal {A} #, Ak sa kruhy pretínajú, môžeme vytvoriť trojuholník dvoch centier a priesečník, takže strany budú mať dĺžku # # R_1, # # R_2a vzdialenosť medzi strediskami #(6,5)# a #(12,7)#, Máme

# A = r_1 ^ 2 = 6 #

#B = r_2 ^ 2 = 48 #

# C = (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 #

#mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 = 4 (6) (48) - (40 - 6 - 48) ^ 2 = 956 #

#mathcal {A}> 0 # takže máme skutočný trojuholník, tzn. prekrývajúce sa kruhy.

Áno, pre akýkoľvek trojuholník #mathcal {A} = 16 (textová oblasť {text}) ^ 2.

Skontrolujte: Alpha