Kruh A má stred (3, 5) a plochu 78 pi. Kruh B má stred (1, 2) a plochu 54 pi. Prekrývajú sa kruhy?

odpoveď:

Áno

vysvetlenie:

Po prvé, potrebujeme vzdialenosť medzi dvoma centrami, čo je # D = sqrt ((DELTAX) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) #

# D = sqrt ((5-2) ^ 2 + (3-1) ^ 2) = sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2) = sqrt (9 + 4) = sqrt (13) = 3,61 #

Teraz potrebujeme súčet polomerov, pretože:

#D> (r_1 + r_2); "Kruhy sa neprekrývajú" #

# D = (r_1 + r_2);

#D <(r_1 + r_2); "Kruhy sa prekrývajú" #

# Pir_1 "" ^ 2 = 78pi #

# R_1 "" ^ 2 = 78 #

# R_1 = sqrt78 #

# Pir_2 "" ^ 2 = 54pi #

# R_2 "" ^ 2 = 54 #

# R_2 = sqrt54 #

# Sqrt78 + sqrt54 = 16.2 #

#16.2>3.61#, takže kruhy sa prekrývajú.

dôkaz:

graf {((x-3) ^ 2 (y-5) 2-54) ((x-1) ^ 2 + (y-2) 2-78) = 0 -20,33, 19,67, -7,36, 12,64}

odpoveď:

Tieto sa prekrývajú, ak #sqrt {78} + sqrt {54} ge sqrt {(3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2} = sqrt {13}.

Môžeme preskočiť kalkulačku a skontrolovať # 4 (13) (54) ge (78-13-54) ^ 2 # alebo #4(13)(54) > 11^2# čo iste je, tak áno, prekrývajú sa.

vysvetlenie:

Kruhová oblasť je samozrejme #pi r ^ 2 # tak sme rozdelili bezdôvodné # # Pis.

Máme štvorcové polomery

# r_1 ^ 2 = 78 #

# R_2 ^ 2 = 54 #

a štvorcovú vzdialenosť medzi strediskami

# D ^ 2 = (3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2 = 13 #

V podstate chceme vedieť, či # r_1 + r_2 ge d #ak môžeme vytvoriť trojuholník z dvoch polomerov a segmentu medzi stredmi.

Štvorcové dĺžky sú pekné celé čísla a je to dosť šialené, že my všetci inštinktívne dosiahneme kalkulačku alebo počítač a začneme užívať štvorcové korene.

Nemusíme, ale vyžaduje to malú obchádzku. Použime Heronov vzorec, zavolame na túto oblasť # Q #.

# Q = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # kde # s = (a + b + c) / 2 #

# Q ^ 2 = ((a + b + c) / 2) (((a + b + c) / 2) -a) (((a + b + c) / 2) -b) (((a) + b + c) / 2) -c) #

# 16Q2 = = (a + b + c) (a + b + c-2a) (a + b + c-2b) (a + b + c-2c) #

# 16Q ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

To je už lepšie ako Heron. Ale pokračujeme. Preskočím nejaké tedium.

# 16Q ^ 2 = 2 a ^ 2 b ^ 2 + 2 a ^ 2 c ^ 2 + 2 b ^ 2 c ^ 2 - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

To je pekne symetrické, ako by sme očakávali pre oblasť vzorca. Urobme to menej symetricky. odvolanie

# (c ^ 2 - a ^ 2- b ^ 2) ^ 2 = a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2-2b ^ 2c ^ 2-2a ^ 2c ^ 2 # 2

pridávanie, # 16Q ^ 2 = 4 a ^ 2 b ^ 2 - (c ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2) ^ 2 #

To je vzorec pre štvorcovú plochu trojuholníka vzhľadom na štvorcové dĺžky strán. Keď sú tieto racionálne, tak je to prvé.

Skúsme to. Môžeme priradiť strany akokoľvek; pre ručný výpočet je najlepšie urobiť # C # najväčšia strana, # c ^ 2 = 78 #

# A ^ 2 = 54 #

# B ^ 2 = 13 #

# 16Q ^ 2 = 4 (54) (13) - (78-54-13) ^ 2 = 4 (54) 13 - 11 ^ 2 #

Dokonca ešte pred jej výpočtom môžeme vidieť, že máme pozitívny postoj # 16Q ^ 2 # tak skutočný trojuholník s pozitívnou oblasťou, tak prekrývajúcimi sa kruhmi.

# 16Q ^ 2 = 2687 #

Ak sme dostali zápornú hodnotu, imaginárnu oblasť, to nie je skutočný trojuholník, takže sa neprekrývajú kruhy.