Čo je druhá derivácia (f * g) (x), ak f a g sú funkcie také, že f '(x) = g (x) a g' (x) = f (x)?

odpoveď:

# (4f * g) (x) #

vysvetlenie:

nechať #P (x) = (f * g) (x) = f (x) g (x) #

Potom použite pravidlo produktu:

#P '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x) #.

Pomocou podmienky uvedenej v otázke dostaneme:

#P '(x) = (g (x)) ^ 2+ (f (x)) ^ 2 #

Teraz používajte pravidlá napájania a reťazca:

#P '' (x) = 2g (x) g '(x) + 2f (x) f' (x) #.

Opäť použijeme špeciálnu podmienku tejto otázky:

#P '' (x) = 2g (x) f (x) + 2f (x) g (x) = 4f (x) g (x) = 4 (f * g) (x) #

odpoveď:

Ďalšia odpoveď v prípade # F * g # Výraz "zloženie" znamená zloženie # F # a # G #

vysvetlenie:

Chceme nájsť druhú deriváciu # (F * g) (x) = f (g (x)) #

Rozlišujeme raz pomocou reťazca pravidlo.

# D / DXF (g (x)) = f (G (x)), g '(x) = f (G (x)), f (x) #

Potom opäť rozlišujeme pravidlá produktového reťazca

# D / dxf '(g (x)), f (x) = f' '(g (x)), g' (x), f (x) + f '(x) f' (g (x)) #

# = F '' (g (x)) f (x) ^ 2 + g (x) f '(g (x)) #