Vyriešte nasledujúcu rovnicu v prirodzených číslach: x² + y² = 1997 (x-y)?

odpoveď:

# (x, y) = (170, 145) # alebo # (x, y) = (1817, 145) #

vysvetlenie:

Nasledujúci dôkaz je založený na knihe "Úvod do diofantických rovníc: Prístup založený na problémoch" Titu Andreescu, Dorin Andrica, Ion Cucurezeanu.

Vzhľadom na to:

# X ^ 2 + y ^ 2 = 1997 (x-y) #

nechať #a = (x + y) # a #b = (1997-x + y) #

potom:

# a ^ 2 + b ^ 2 = (x + y) ^ 2 + (1997-x + y) ^ 2 #

# = X ^ 2 + 2.xy + y ^ 2 + 1997 ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2-2 (1997 (xy) + xy) #

# = X ^ 2 + 2.xy + y ^ 2 + 1997 ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2-2 (x ^ 2 + y ^ 2 + xy) #

#=1997^2#

Preto zistíme:

# {(0 <a = x + y <1997), (0 <b = 1997-x + y <1997):} #

od tej doby #1997# je prvoradý, # A # a # B # nemajú väčší spoločný faktor ako. t #1#.

Preto existujú pozitívne celé čísla #m, n # s #m> n # a žiadny spoločný faktor väčší ako #1# také, že:

# {(1997 = m ^ 2 + n ^ 2), (a = 2mn), (b = m ^ 2-n ^ 2):} farba (biela) (XX) "alebo" farba (biela) (XX) {(1997 = m ^ 2 + n ^ 2), (a = m ^ 2-n ^ 2), (b = 2mn):} #

Pozerajúc sa na # 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # v mod #3# a mod #5# aritmetiku, nájdeme:

# 2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # (mod #3#) #m - = + -1 # a #n - = + -1 # (mod #3#)

# 2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # (mod #5#) #m - = + -1 # a #n - = + -1 # (mod #5#)

To znamená, že jediné možnosti #m, n # modulo #15# sú #1, 4, 11, 14#.

Okrem toho si všimnite, že:

# m ^ 2 in (1997/2, 1997) #

Z toho dôvodu:

#m in (sqrt (1997/2), sqrt (1997)) ~ ~ (31,6, 44,7) #

Takže jediné možnosti # M # sú #34, 41, 44#

Nájdeme:

#1997 - 34^2 = 841 = 29^2#

#1997 - 41^2 = 316# nie je dokonalým námestím.

#1997 - 44^2 = 61# nie je dokonalým námestím.

tak # (m, n) = (34, 29) #

takže:

# (a, b) = (2mn, m ^ 2-n ^ 2) = (1972, 315) #

alebo

# (a, b) = (m ^ 2-n ^ 2, 2mn) = (315, 1972) #

#COLOR (biely) () #

ak # (a, b) = (1972, 315) # potom:

# {(x + y = 1972), (1997-x + y = 315):} #

a preto:

# (x, y) = (1817, 145) #

#COLOR (biely) () #

ak # (a, b) = (315, 1972) # potom:

# {(x + y = 315), (1997-x + y = 1972):} #

a preto:

# (x, y) = (170, 145) #