Zobraziť, že int_0 ^ 1sinx / sqrt (x ^ 2 + 1) dx

odpoveď:

Pozri vysvetlenie

vysvetlenie:

Chceme ukázať

# int_0 ^ 1sin (x) / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #

Toto je celkom "škaredý" integrál, takže náš prístup nebude riešiť tento integrál, ale porovnať ho s "krajším" integrálom.

Teraz to pre všetky pozitívne reálne čísla #COLOR (red) (sin (x) <= x) #

Hodnota integrandu bude teda väčšia aj pre všetky pozitívne reálne čísla, ak ich nahradíme # X = sin (x) #, takže ak môžeme ukázať

# int_0 ^ 1x / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #

Potom musí byť aj naše prvé vyhlásenie

Nový integrál je jednoduchý substitučný problém

# INT_0 ^ 1x / sqrt (x ^ 2 + 1) = sqrt (x ^ 2 + 1) _ 0 ^ 1 = sqrt (2) -1 #

Posledným krokom je všimnúť si to #sin (x) = x => x = 0 #

Preto môžeme uzavrieť

# int_0 ^ 1sin (x) / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #