odpoveď:
vysvetlenie:
Máme:
# f (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) #
Krok 2 - Identifikácia kritických bodov
Kritický bod nastáva pri súčasnom riešení
# f_x = f_y = 0 iff (čiastočné f) / (čiastočné x) = (čiastočné f) / (čiastočné y) = 0 #
keď:
Riešením A a B súčasne získame jediné riešenie:
# x = y = 1 #
Môžeme teda konštatovať, že existuje jeden kritický bod:
# (1,1) #
Krok 3 - Klasifikácia kritických bodov
Za účelom klasifikácie kritických bodov vykonáme test podobný testu jedného variabilného počtu pomocou druhých parciálnych derivátov a Hessian Matrix.
# Delta = Hf (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((čiastočné ^ 2 f) / (čiastočné x ^ 2), (čiastočné ^ 2 f) / (čiastočné x čiastočné y)), ((čiastočné ^ 2 f) / (čiastočné y čiastkové x), (čiastočné ^ 2 f)) / (čiastočné y ^ 2)) = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #
Potom v závislosti na hodnote
# {: (Delta> 0, "Maximálne je, ak" f_ (xx) <0), (, "a minimum, ak" f_ (xx)> 0), (Delta <0, "je sedlový bod"), (Delta = 0, je potrebná ďalšia analýza):} #
Pomocou vlastných makier programu Excel sa hodnoty funkcií spolu s čiastkovými hodnotami derivátov vypočítajú nasledovne:
Aké sú extrémne a sedlové body f (x) = 2x ^ 2 lnx?
Doména definície: f (x) = 2x ^ 2lnx je interval xv (0, + oo). Vyhodnoťte prvý a druhý derivát funkcie: (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + lnx Kritické body sú riešenia: f '(x) = 0 2x (1 + 2lnx) = 0 a ako x> 0: 1 + 2lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) V tomto bode: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0, takže kritický bod je lokálne minimum. Sedlové body sú riešenia: f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6 a ako f '' (x) je monotónne zväčše
Aké sú extrémne a sedlové body f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2?
{: ("Kritický bod", "Záver"), ((0,0), "min"), ((-1, -2), "sedlo"), ((-1,2), "sedlo" ), ((-5 / 3,0), "max"):} Teória na identifikáciu extrémov z = f (x, y) je: Vyriešiť súčasne kritické rovnice (čiastočné f) / (čiastkové x) = (čiastočné f) / (čiastočné y) = 0 (tj z_x = z_y = 0) Vyhodnoťte f_ (xx), f_ (yy) a f_ (xy) (= f_ (yx)) v každom z týchto kritických bodov , Preto vyhodnotiť Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 v každom z týchto bodov Určiť povahu extrému; {: (Delta> 0, "Existu
Aké sú extrémne a sedlové body f (x, y) = xy + 27 / x + 27 / y?
Existuje jeden extrém na (3,3,27) Máme: f (x, y) = xy + 27 / x + 27 / y A tak odvodíme parciálne deriváty: (čiastočné f) / (čiastkové x) = y - 27 / x ^ 2 a (čiastočné f) / (čiastočné y) = x - 27 / y ^ 2 V extrémnych alebo sedlových bodoch máme: (čiastočné f) / (čiastočné x) = 0 a (čiastočné f) / (čiastočné y) = 0 súčasne: tj simultánne riešenie: y - 27 / x ^ 2 = 0 => x ^ 2y = 27 x - 27 / y ^ 2 = 0 => xy ^ 2 = 27 Odčítanie týchto rovníc dáva: x ^ 2y-xy ^ 2 = 0:. xy (x-y) = 0:. x = 0; y = 0; x = y Môžeme e