Vysvetlite, je to lineárna transformácia alebo nie?

odpoveď:

Pozri nižšie

vysvetlenie:

Transformácia #T: V t je lineárny, ak má tieto dve vlastnosti: t

• #T (v_1 + V_2) = T (v_1) + T (V_2) # pre každého # v_1, v_2
• #T (CV) = CT (v) # pre každého #vv V # a každý skalár # C #

Všimnite si, že druhá vlastnosť to predpokladá # V # je vložená dvoma operáciami súčtu a skalárnym násobením. V našom prípade je súčet súčtom medzi polynómami a násobenie je násobenie reálnymi číslami (predpokladám).

Keď odvodíte polynóm, znížite jeho stupeň o #1#, takže ak odvodíte polynóm stupňa #4# dvakrát, dostanete polynóm stupňa #2#, Všimnite si, že keď hovoríme o množine všetkých štvorstupňových polyinómií, vlastne máme na mysli množinu všetkých polynómov stupňa najviac štyri. V skutočnosti je všeobecný stupeň štyroch polynómov

# A_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

Ak chcete stupeň dva polynómy # 3 + 6x-5x ^ 2 #Napríklad si jednoducho vyberiete

# a_0 = 3, a_1 = 6, a_2 = -5, a_3 = a_4 = 0 #

S tým, čo bolo povedané, pozrime sa na polynomický priestor stupňa # N # s # # P_na definovať nášho operátora #T: P_4 # takýmto spôsobom #T (f (x)) = f '' (x) #

Pozrime sa na prvú vlastnosť: predpokladajme, že máme polynómy

# p_1 = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

a

# p_2 = b_0 + b_1x + b_2x ^ 2 + b_3x ^ 3 + b_4x ^ 4 #

To znamená, že # P_1 + p_2 # rovná

# (A_0 + b_0) + (a_1 + b_1) x + (a_2 + b_2) x ^ 2 + (a_3 + b_3) x ^ 3 + (a_4 + b_4) x ^ 4 #

#T (p_1 + p_2) # je druhá derivácia tohto polynómu, takže je

# 2 (a_2 + b_2) 6 (a_3 + b_3) x + 12 (+ a_4 b_4) x ^ 2 #

(Použil som dvojnásobok pravidla pre odvodenie: druhý derivát # X ^ n # je # N (n-1) x ^ {n-2} #)

Poďme počítať #T (p_1) #druhý derivát # # P_1:

# 2A_2 + 6a_3x + 12a_4x ^ 2 #

podobne #T (p_2) #druhý derivát # # P_2, je

# 2B_2 + 6b_3x + 12b_4x ^ 2 #

Ak zhrniete tento výraz, môžete vidieť, že máme

#T (p_1 + p_2) = T (p_1) + T (p_2) #

Druhá vlastnosť je znázornená podobným spôsobom: daný polynóm

#p = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

máme pre akékoľvek reálne číslo # C #,

#cp = ca_0 + ca_1x + ca_2x ^ 2 + ca_3x ^ 3 + ca_4x ^ 4 #

jeho druhý derivát je teda

# 2ca_2 + 6ca_3x + 12ca_4x ^ 2 #

ktorý je opäť rovnaký ako počítač #T (p) #a potom všetko rozmnožte # C #, t.j. #T (cp) = CT (p) #