Prosím, niekto pomôže vyriešiť problém?

odpoveď:

Skúste zmenu # x = tan u #

Pozri nižšie

vysvetlenie:

My to vieme # 1 + tan ^ 2 u = sec ^ 2u #

Navrhovanou zmenou máme

# dx = sec ^ 2u du #, Umožňuje nahradiť v integrále

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = intsec ^ 2u / (1 + tan ^ 2u) ^ (3/2) du = intsec ^ 2u / sec ^ 3udu = int1 / secudu = intcosudu = sinu + C #

Zrušenie zmeny:

# U = arctanx # a nakoniec máme

#sin u + C = sin (arctanx) + C #

odpoveď:

#COLOR (modrá) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = x / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #

vysvetlenie:

Pokúste sa použiť na riešenie tohto integrálu trigonometrickú náhradu. Na tento účel vytvoríme pravouhlý trojuholník #Delta ABC # a označiť strany takým spôsobom, že pomocou Pythagorovho vzorca môžeme odvodiť výrazy, ktoré v súčasnosti vidíme v argumente integrálu takto:

uhol # / _ B = theta # má opačnú stranu #X# a priľahlej strane #1#, Použitie vzorca Pythagoras:

# (BC) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (AC) ^ 2 # výsledky v:

# (BC) ^ 2 = 1 ^ 2 + x ^ 2 = 1 + x ^ 2 #

# BC = sqrt (1 + x ^ 2 # ako je znázornené.

Teraz napíšme tri najzákladnejšie goniometrické funkcie # # Theta:

# Sintheta = x / sqrt (1 + x ^ 2) #

# Costheta = 1 / sqrt (1 + x ^ 2) #

# Tantheta = x / 1 = x #

Teraz musíme použiť tieto rovnice na riešenie rôznych častí integrálneho argumentu v trigonometrických termínoch. Použime # # Tantheta:

# Tantheta = x #

Vezmime si deriváty oboch strán:

# sec ^ 2 theta d theta = dx #

Od # # Costheta rovnicu, môžeme vyriešiť #sqrt (1 + x ^ 2) #:

#sqrt (1 + x ^ 2) = 1 / costheta = sectheta #

Ak zvýšime obe strany tejto rovnice na moc #3# dostaneme:

# S ^ 3theta = (sqrt (1 + x ^ 2)) ^ 3 = ((1 + x ^ 2) ^ (1/2)) ^ 3 = (1 + x ^ 2) ^ (3/2) #

Teraz môžeme nahradiť to, čo sme vypočítali, do integrálu problému, aby sme ho premenili na trigonometrický integrál:

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = int (sek ^ 2thetad theta) / sek ^ 3theta = intsec ^ 2theta / (sektace ^ 2theta) d theta = intcancelcolor (červená) (sek ^ 2theta) / (secthetacancelcolor (červená) (sek ^ 2theta)) d theta = int1 / sekthetad theta = int1 / (1 / costheta) d theta = intcosthetad theta = sintheta + C #

Teraz môžeme nahradiť # # Sintheta a premeniť našu odpoveď na algebraický výraz v zmysle #X#:

#COLOR (modrá) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = x / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #