Otázka # 059f6

odpoveď:

#f (x) = sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ (k) (xsin (x-1) -2kcos (x-1)) / ((2k!)) (x-1) ^ (2k) + sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) / ((2k + 1)!) (X- 1) ^ (2k + 1) #

vysvetlenie:

Taylorov vývoj funkcie # F # na # A # je #sum_ (i = 1) ^ (oo) f ^ ((n)) (a) / (n!) (xa) ^ n = f (a) + f '(a) (xa) + f ^ ((2)) (a) / (2) (xa) ^ 2 + … #.

Majte na pamäti, že je to mocenská séria, takže to nemusí nevyhnutne konvergovať # F # alebo dokonca konvergovať niekde inde ako na # X = a #.

Najprv potrebujeme deriváty # F # ak sa chceme pokúsiť napísať skutočný vzorec jeho Taylorovho radu.

Po výpočte a indukčnom teste to môžeme povedať #AAk v NN: f ^ ((2k)) (x) = (-1) ^ (k + 1) 2kcos (x-1) + (-1) ^ (k) xsin (x-1) # a #f ^ ((2k + 1)) (x) = (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) #.

Takže po nejakom hrubom a malom zjednodušení sa zdá, že Taylorov rad # F # je #sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ (k) (xsin (x-1) -2kcos (x-1)) / ((2k!)) (x-1) ^ (2k) + sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) / ((2k + 1)!) (x-1) ^ (2k 1) #.