Čo je orthocenter trojuholníka s vrcholom na O (0,0), P (a, b) a Q (c, d) #?

odpoveď:

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

vysvetlenie:

Zovšeobecnil som túto starú otázku, skôr než sa pýtam na novú. Urobil som to predtým, než som sa na to obrátil na otázku, či sa to stalo, a nič zlého sa nestalo, takže pokračujem v seriáli.

Ako predtým som dal jeden vrchol na počiatku, aby som sa snažil udržať algebrovú schopnosť. Ľubovoľný trojuholník sa dá ľahko preložiť a výsledok sa ľahko preloží späť.

Orthocenter je priesečník výšok trojuholníka. Jeho existencia je založená na teoréme, že nadmorská výška trojuholníka sa pretína v bode. Hovoríme, že tri nadmorské výšky sú súbežný.

Ukážme, že výšky trojuholníka OPQ sú súbežné.

Smerový vektor bočného OP je # P-O = P = (a, b), # čo je len fantastický spôsob, ako povedať, že svah je # B / a # (ale smerový vektor funguje aj vtedy, keď # A = 0 #). Smerový vektor kolmice dostaneme výmenou súradníc a negáciou tu # (B, -a). # Kolmo je potvrdený nulovým bodovým produktom:

# (a, b) cdot (b, -a) = ab-ba = 0 quad sqrt #

Parametrická rovnica nadmorskej výšky z OP do Q je teda:

# (x, y) = Q + t (b, -a) = (c, d) + t (b, -a) quad # naozaj # T #

Nadmorská výška od OQ do P je podobne

# (x, y) = (a, b) + u (d, -c) quad # naozaj # U #

Smerový vektor PQ je # Q-P = (c-a, d-b) #, Kolmica cez východ, t.j. nadmorská výška od PQ je teda

# (x, y) = v (d-b, a-c) quad # naozaj # V #

Pozrime sa na stretnutie nadmorských výšok z OP a PQ:

# (c, d) + t (b, -a) = v (d-b, a-c) #

To sú dve rovnice v dvoch neznámych, # T # a # V #.

# c + bt = v (d-b) #

# d-at = v (a-c) #

Vynásobíme prvú # A # a druhý # B #.

# ac + abt = av (d-b) #

# bd-abt = bv (a-c) #

pridávanie, #ac + bd = v (a (d-b) + b (a-c)) = v (ad - ab + ab -bc) #

#v = {ac + bd} / {ad - bc} #

Spôsob chladenia s bodovým produktom v čitateli a krížovým produktom v menovateli.

Stretnutie je predpokladaný ortocenter # (X, y) #:

# (x, y) = v (d-b, a-c) = {ac + bd} / {ad-bc} (d-b, a-c) #

Nájdeme stretnutie nadmorských výšok od OQ a PQ ďalej. Symetriou môžeme len vymeniť # A # s # C # a # B # s # D #, Zavoláme výsledok # (X 'y'). #

# (x ', y') = {ca + db} / {cb - da} (b-d, c-a) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Máme tieto dve križovatky sú rovnaké, # (x ', y') = (x, y), # tak sme dokázali, že nadmorské výšky sú súbežné. #quad sqrt #

Oprávnili sme pomenovanie spoločného križovatky orthocenter a našli sme jeho súradnice.

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #