Aké sú extrémy a sedlové body f (x, y) = 6 sin (-x) * sin ^ 2 (y) na intervale x, yv [-pi, pi]?

odpoveď:

vysvetlenie:

Máme:

# f (x, y) = 6sin (-x) sin ^ 2 (y) #

# T

Krok 2 - Identifikácia kritických bodov

Kritický bod nastáva pri súčasnom riešení

# f_x = f_y = 0 iff (čiastočné f) / (čiastočné x) = (čiastočné f) / (čiastočné y) = 0 #

keď:

# {: (f_x = -6cosxsin ^ 2y, = 0, … A), (f_y = -6sinxsin2y, = 0, … B):}} # zároveň

Zvážte rovnicu A

# -6cosxsin ^ 2y = 0 #

Potom máme dve riešenia:

# cosx = 0 => x = + - pi / 2 #

# sin y = 0 => y = 0, + - pi #

Teraz používajme Eq B na nájdenie zodpovedajúcej súradnice:

# x = + -pi / 2 => sin2y = 0 #

# => 2y = + -pi, + - 2pi => y = + - pi / 2, + -pi #

# y = 0, + - pi => x v RR # (Žľaby)

Čo nám dáva tieto kritické body:

# (+ -pi / 2, + -pi / 2) # t (4 kritické body)

# (+ -pi / 2, + -pi) t (4 kritické body)

# (alfa, 0) AA alfa v RR t (odkvapová čiara)

# (alfa, + -pi) AA alfa v RR (2 žľaby)

Zvážte rovnicu B

# -6sinxsin2y = 0 #

Potom máme dve riešenia:

# sinx = 0 => x = 0, + - pi #

# sin2y = 0 => 2y = 0 + - pi, + -2pi #

# => y = 0, + -pi / 2, + - pi #

Teraz používajme Eq A na nájdenie zodpovedajúcej súradnice @

# x = 0, + - pi => siny = 0 => y = 0, + - pi # (opakuje sa vyššie)

# y = 0 => x v RR # (opakovať vyššie)

# y = + -pi / 2 => cosx = 0 #

# = x = + - pi / 2 # (opakuje sa vyššie)

Čo nám nedáva žiadne ďalšie kritické body:

Krok 3 - Klasifikácia kritických bodov

Za účelom klasifikácie kritických bodov vykonáme test podobný testu jedného variabilného počtu pomocou druhých parciálnych derivátov a Hessian Matrix.

# Delta = Hf (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((čiastočné ^ 2 f) / (čiastočné x ^ 2), (čiastočné ^ 2 f) / (čiastočné x čiastočné y)), ((čiastočné ^ 2 f) / (čiastočné y čiastkové x), (čiastočné ^ 2 f)) / (čiastočné y ^ 2)) = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #

Potom v závislosti na hodnote # Delta #:

# {: (Delta> 0, "Maximálne je, ak" f_ (xx) <0), (, "a minimum, ak" f_ (xx)> 0), (Delta <0, "je sedlový bod"), (Delta = 0, je potrebná ďalšia analýza):} #

Pomocou vlastných makier programu Excel sa hodnoty funkcií spolu s čiastkovými hodnotami derivátov vypočítajú nasledovne:

Tu je graf funkcie

A trik s kritickými bodmi (a odkvapmi)

Aké sú extrémne a sedlové body f (x) = 2x ^ 2 lnx?

Doména definície: f (x) = 2x ^ 2lnx je interval xv (0, + oo). Vyhodnoťte prvý a druhý derivát funkcie: (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + lnx Kritické body sú riešenia: f '(x) = 0 2x (1 + 2lnx) = 0 a ako x> 0: 1 + 2lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) V tomto bode: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0, takže kritický bod je lokálne minimum. Sedlové body sú riešenia: f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6 a ako f '' (x) je monotónne zväčše

Aké sú extrémy a sedlové body f (x, y) = 2x ^ (2) + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 - y / x?

Táto funkcia nemá žiadne stacionárne body (ste si istí, že f (x, y) = 2x ^ 2 + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 y / x je ten, ktorý ste chceli študovať ?!). Podľa najviac rozptýlenej definície sedlových bodov (stacionárne body, ktoré nie sú extrémmi) hľadáte stacionárne body funkcie v jej oblasti D = (x, y) v RR ^ 2 = RR ^ 2 setminus {(0 , y) v RR ^ 2}. Teraz môžeme prepísať výraz daný pre f nasledujúcim spôsobom: f (x, y) = 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2-y / x Spôsob, ako ich identifikovať, je hľadať body, ktoré rušia gradient f, čo je ve

Aké sú extrémy a sedlové body f (x, y) = 6 sin x sin y na intervale x, yv [-pi, pi]?

X = pi / 2 a y = pi x = pi / 2 a y = -pi x = -pi / 2 a y = pi x = -pi / 2 a y = -pi x = pi a y = pi / 2 x = pi a y = -pi / 2 x = -pi a y = pi / 2 x = -pi a y = -pi / 2 Ak chcete nájsť kritické body funkcie s 2 premennými, musíte vypočítať gradient, ktorý je vektor, ktorý obsahuje deriváty vzhľadom na každú premennú: (d / dx f (x, y), d / dyf (x, y)) Takže máme d / dx f (x, y) = 6cos (x ) sin (y) a podobne d / dy f (x, y) = 6sin (x) cos (y). Aby sa našli kritické body, gradient musí byť nulový vektor (0,0), čo znamená riešenie systému {(6cos (x)