Ukážte, že rovnica x ^ 4 + 2x ^ 2 - 2 = 0 má presne jedno riešenie na [0, 1]?

odpoveď:

Pozri nižšie.

vysvetlenie:

Po prvé, poďme spočítať # F (x) = x ^ 4 + 2 ^ 2-2 # na hranici našej domény:

#f (0) = 0 ^ 4 + 2 * 0 ^ 2-2 = -2 <0 #

#f (1) = 1 ^ 4 + 2 * 1 ^ 2-2 = 1> 0 #

Ak vypočítame derivát

#f '(x) = 4x ^ 3 + 4x = 4x (x ^ 2 + 1) #

Vidíme, že je to vždy pozitívne #0,1#, V skutočnosti, # X ^ 2 + 1 # je vždy pozitívny a # # 4x je, samozrejme, pozitívny #X# je pozitívny.

Takže naša funkcia začína pod #X# os, pretože # F (0) <0 #a končí nad #X# os, pretože # F (1)> 0 #, Funkcia je polynóm, a tak je kontinuálna.

Ak súvislá čiara začína pod osou a končí nad ňou, znamená to, že ju musela prekrížiť niekde medzi nimi. A skutočnosť, že derivácia je vždy pozitívna, znamená, že funkcia je stále rastúca, a preto nemôže dvakrát prekročiť os, preto dôkaz.