Čo je orthocenter trojuholníka s rohmi na (4, 7), (8, 2) a (5, 6) #?

odpoveď:

Súradnice ortocentra #color (červená) (O (40, 34) #

vysvetlenie:

Sklon úsečky BC # = m_ (BC) = (6-2) / (5-8) = -4 / 3 #

Sklon #m_ (AD) = - (1 / m_ (BC)) = (3/4) #

Nadmorská výška prechádzajúca cez A a kolmá na BC

#y - 7 = (3/4) (x - 4) #

# 4y - 3x = 16 # Eqn (1)

Sklon úsečky čiary AC #m_ (AC) = (7-6) / (4-5) = -1 #

Sklon nadmorskej výšky BE kolmý na BC #m_ (BE) = - (1 / m_ (AC)) = - (1 / -1) = 1 #

Výšková rovnica prechádzajúca B a kolmá na AC

#y - 2 = 1 * (x - 8) #

#y - x = -6 # Eqn (2)

Riešenie Eqns (1), (2) dorazíme na súradnice ortocentra O

#x = 40, y = 34 #

Súradnice ortocentra #O (40, 34) #

Overenie:

Sklon #CF = - (4-8) / (7-2) = (4/5) #

Rovnica nadmorskej výšky CF

#y - 6 = (4/5) (x - 5) #

# 5y - 4x = 10 # Eqn (3)

Súradnice ortocentra #O (40, 34) #

odpoveď:

orthocenter: #(40,34)#

vysvetlenie:

Vypracoval som semifinále tu. (Http://socratic.org/questions/what-is-orthocenter-of-a-triangle-with-corners-at-7-3-4-4 -A-2-8)

Záver je ortocenter trojuholníka s vrcholom # (A, b), # # (C, d) # a #(0,0)# je

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Vyskúšajme to na tento trojuholník a porovnajme výsledok s druhou odpoveďou.

Najprv preložíme (5, 6) k pôvodu a dáme dva ďalšie preložené vrcholy:

# (A, b) = (4,7) - (5,6) = (- 1,1) #

# (c, d) = (8,2) - (5,6) = (3, -4) #

Vzorec aplikujeme v preloženom priestore:

# (x, y) = {-1 (3) + 1 (-4)} / {- 1 (-4) - 1 (3)} (-5, -4) = -7 (-5, -4)) = (35,28) #

Teraz prekladáme za náš výsledok:

orthocenter: #(35,28) + (5,6) = (40,34)#

To zodpovedá druhej odpovedi!