Aká je rovnica normálnej čiary f (x) = x ^ 3-49x ^ 2 + 7x pri x = 7?

odpoveď:

# Y = 1 / 532x-2.009,013 #

vysvetlenie:

Normálna čiara v bode je čiara kolmá na priamku dotyčnice v tomto bode. Keď riešime problémy tohto typu, nájdeme sklon tangenty pomocou derivácie, použijeme ju na nájdenie sklonu normálnej čiary a použijeme bod z funkcie na nájdenie normálnej rovnice.

Krok 1: Sklon tangenciálnej čiary

Všetko, čo tu robíme, je vziať deriváciu funkcie a vyhodnotiť ju # X = 7 #:

#y '= 3x ^ 2-98x + 7 #

#y '(7) = 3 (7) ^ 2-98 (7) + 7 #

#y '(7) = -532 #

To znamená sklon priamky dotyčnice na # X = 7 # je -532.

Krok 2: Sklon normálnej čiary

Sklon normálnej čiary je jednoducho opačná inverzia sklonu tečnej čiary (pretože tieto dve sú kolmé). Tak sme len flip -532 a robiť to pozitívne dostať #1/532# ako sklon normálnej čiary.

Posledný krok: Hľadanie rovnice

Normálne rovnice sú vo forme # Y = mx + b #, kde # Y # a #X# sú body na riadku, # M # je svah a # B # je # Y #-intercept. Máme svah, # M #, čo sme našli v druhom kroku: #1/532#, Body #X# a # Y # môžete ľahko nájsť striedaním # X = 7 # do rovnice a riešenie pre # Y #:

# Y = (7) ^ 3-49 (7) ^ 2 + 7 (7) #

#y = -2009 #

Teraz môžeme použiť všetky tieto informácie na vyhľadanie # B #, # Y #-intercept:

# Y = mx + b #

# -2009 = (1/532) (7) + b #

# -2009 = 7/532 + b #

# -2009-7 / 532 = b #

Môžeme to priblížiť na -2009.013, alebo ak by sme to naozaj chceli, mohli by sme to priblížiť aj -2009.

Rovnica normálnej čiary je teda # Y = 1 / 532x-2.009,013 #.