Aké sú absolútne extrémy f (x) = sin2x + cos2x v [0, pi / 4]?

odpoveď:

Absolútne maximum: #x = pi / 8 #

Absolútna min. je v koncových bodoch: #x = 0, x = pi / 4 #

vysvetlenie:

Nájdite prvú deriváciu pomocou pravidla reťazca:

nechať #u = 2x; u '= 2 #, takže #y = sinu + cos u #

#y '= (cosu) u' - (sinu) u '= 2cos2x - 2sin2x #

Nájdite kritické čísla nastavením #y '= 0 # a faktor:

# 2 (cos2x-sin2x) = 0 #

Kedy #cosu = sinu #? kedy #u = 45 ^ @ = pi / 4 #

tak #x = u / 2 = pi / 8 #

Nájsť 2. deriváciu: #y '' = -4sin2x-4cos2x #

Skontrolujte, či máte max # Pi / 8 # pomocou 2. derivátového testu:

#y '' (pi / 8) ~ ~ -5,66 <0 #, preto # Pi / 8 # je absolútna max v intervale.

Skontrolujte koncové body:

#y (0) = 1; y (pi / 4) = 1 # minimálne hodnoty

Z grafu:

graf {sin (2x) + cos (2x) -.1,.78539816, -.5, 1.54}

odpoveď:

# 0 a sqrt2 #, Pozri ilustratívny Socratov graf.

vysvetlenie:

graf (použitie # | sin (theta) | v 0, 1 #.

# | F | = | sin2x + cos2x | #

# sqrt2 | sin2x cos (pi / 4) + cosx sin (pi / 4) |

# = Sqrt2 | sin (2x + pi / 4) | v 0, sqrt 2 #.