Dvojica spravodlivých šesťstranných kocky sa hodí osemkrát. Zistite pravdepodobnosť, že skóre väčšie ako 7 nie je zaznamenané viac ako päťkrát?

odpoveď:

#~=0.9391#

vysvetlenie:

Predtým, než sa dostaneme do samotnej otázky, hovorme o metóde na jej riešenie.

Povedzme napríklad, že chcem pripísať všetky možné výsledky z prevrátenia veľtržnej mince trikrát. Môžem dostať HHH, TTT, TTH a HHT.

Pravdepodobnosť H je #1/2# a pravdepodobnosť pre T je tiež #1/2#.

Pre HHH a pre TTT, to je # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # každej z nich.

Pre TTH a HHT je to tiež # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # každý, ale pretože existujú 3 spôsoby, ako môžem získať každý výsledok, to skončí byť # 3xx1 / 8 = 3/8 # každej z nich.

Keď zhrniem tieto výsledky, dostanem #1/8+3/8+3/8+1/8=1# - čo znamená, že teraz mám k dispozícii všetky možné výsledky mincí.

Všimnite si, že ak nastavím # H # byť # P # a preto majú # T # byť # ~ P #a tiež si všimnite, že máme čiaru z Pascalovho trojuholníka #(1,3,3,1)#sme vytvorili formulár:

#sum_ (k = 0) ^ (n) C_ (n, k) (p) ^ k ((~ p) ^ (n-k)) #

a tak v tomto príklade dostaneme:

# = C_ (3,0), (1/2) ^ 0 (1/2) ^ 3 + C_ (3,1), (1/2), ^ 1 (1/2) ^ 2 + C_ (3,2) (1/2) ^ 2 (1/2) ^ 1 + C_ (3,3), (1/2) ^ 3 (1/2) ^ 0 #

#=1(1)(1/8)+3(1/2)(1/4)+3(1/4)(1/2)+1(1/8)(1)#

#=1/8+3/8+3/8+1/8=1#

Teraz môžeme urobiť problém.

Dostali sme počet rolí ako 8, takže # N = 8 #.

# P # je súčet väčší ako 7. Ak chcete zistiť pravdepodobnosť získania sumy vyššej ako 7, pozrime sa na možné valce:

# ((Farby (biela) (0), UL1, UL2, UL3, ul4, ul5, ul6), (1 |, 2,3,4,5,6,7), (2 |, 3,4,5, 6,7,8), (3 |, 4,5,6,7,8,9), (4 |, 5,6,7,8,9,10), (5 |, 6,7, 8,9,10,11), (6 |, 7,8,9,10,11,12)) #

Z 36 možností dáva 15 roliek sumu väčšiu ako 36, čo dáva pravdepodobnosť #15/36=5/12#.

s # p = 5/12, ~ p = 7/12 #

Môžeme vypísať celý súčet možností - od získania všetkých 8 rolí, ktoré sú súčtom väčším ako 7, až po získanie všetkých 8 rolí súčet 7 alebo menej:

# = C_ (8,0) (5/12) ^ 8 (7/12) ^ 0 + C_ (8,1) (5/12) ^ 7 (7/12) ^ 1 + C_ (8,2) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2 + C_ (8,3) (5/12) ^ 5 (7/12) ^ 3 izbový C_ (8,4) (5/12) ^ 4 (7/12) ^ 4 + C_ (8,5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ 5 + C_ (8,6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8,7) (5/12) ^ 1 (7/12) ^ 7 + C_ (8,8) (5/12) ^ 0 (7/12) ^ 8 = 1 #

ale máme záujem zhrnúť iba tie termíny, ktoré majú viac ako 7 súčtov, ktoré sa deje 5-krát alebo menej:

# = C_ (8,3) (5/12) ^ 5 (7/12) ^ 3 + C_ (8,4) (5/12) ^ 4 (7/12) ^ 4 + C_ (8,5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ 5 + C_ (8,6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8,7) (5/12) ^ 1 (7/12) ^ 7 + C_ (8,8) (5/12) ^ 0 (7/12) ^ 8 #

#~=0.9391#

odpoveď:

#0.93906#

vysvetlenie:

# "Takže P výsledok> 7 = 15/36 = 5/12" # #

#P "vyskytuje sa k krát na 8 hodoch" = C (8, k) (5/12) ^ k (7/12) ^ (8-k) "# #

# "(binomické rozdelenie)" #

# "s" C (n, k) = (n!) / ((n-k)! k!) "(kombinácie)" #

# "So," #

#P "to nastane najviac 5 krát na 8 hodov" #

# = 1 - P "vyskytuje sa 6, 7 alebo 8 krát na 8 hodoch" #

# = 1-C (8,6) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2-C (8,7) (5/12) ^ 7 (7/12) - (5/12) ^ 8 #

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 8*(7/5) + 28*(7/5)^2)#

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 11.2 + 54.88) = 1 - (5/12)^8 (67.08)#

#= 0.93906#