Aká je druhá odmocnina 5?

Druhá odmocnina #5# nemôže byť zjednodušený otec, ako to už je, takže tu je # # Sqrt5 na desať desatinných miest:

# Sqrt5 ~~ 2,2360679775 … #

odpoveď:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …)))) ~ ~ 2889/1292 ~ ~ 2.236068 # je iracionálne číslo.

vysvetlenie:

Všetky kladné čísla majú zvyčajne dva štvorcové korene, pozitívny a negatívny rovnakej veľkosti. Označujeme pozitívnu (a.k.a. princip) druhú odmocninu # N # podľa #sqrt (n) #.

Druhá odmocnina čísla # N # je číslo #X# takýmto spôsobom # x ^ 2 = n #, Takže ak # x ^ 2 = n # potom tiež # (- x) ^ 2 = n #.

Avšak, populárne použitie je, že "druhá odmocnina" sa vzťahuje na pozitívne.

Predpokladajme, že máme kladné číslo #X# ktorý spĺňa:

#x = 2 + 1 / (2 + x) #

Potom znásobuje obe strany # (2 + x) # dostaneme:

# x ^ 2 + 2x = 2x + 5 #

Potom sa odčíta # # 2x z oboch strán dostávame:

# X ^ 2 = 5 #

Našli sme:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (2 + sqrt (5)) #

#color (biela) (sqrt (5)) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …)))) #)

Keď táto nepretržitá frakcia neskončí, môžeme to povedať #sqrt (5) # nemôže byť reprezentovaný ako koncová frakcia - t.j. racionálne číslo. tak #sqrt (5) # je iracionálne číslo o niečo menšie ako #2 1/4 = 9/4#, Pre lepšiu racionálnu aproximáciu môžete pokračovať v pokračovaní frakcie po ďalších termínoch.

Napríklad:

#sqrt (5) ~ ~ 2 + 1 / (4 + 1/4) = 2 + 4/17 = 38/17 ~ ~ 2.235 #

Rozbalenie týchto pokračujúcich frakcií môže byť trochu únavné, takže vo všeobecnosti uprednostňujem použiť inú metódu, menovite limitujúci pomer celočíselnej sekvencie definovanej rekurzívne.

Definujte postupnosť podľa:

# {(a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_ (n + 2) = 4a_ (n + 1) + a_n):} #

Prvými niekoľkými výrazmi sú:

#0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473#

Pomer medzi výrazmi bude mať tendenciu # 2 + sqrt (5) #.

Nájdeme teda:

#sqrt (5) ~ ~ 5473/1292 - 2 = 2889/1292 ~ ~ 2.236068 #