Čo je cos [sin ^ (- 1) (- 1/2) + cos ^ (- 1) (5/13)]?

odpoveď:

#rarrcos cos ^ (- 1) (5/13) + sin ^ (- 1) (- 1/2) = (12 + 5sqrt3) / 26 #

vysvetlenie:

#rarrcos cos ^ (- 1) (5/13) + sin ^ (- 1) (- 1/2) #

# = Cos cos ^ (- 1) (5/13) -sin ^ (- 1) (1/2) #

# = Cos cos ^ (- 1) (5/13) -cos ^ (- 1) (sqrt3 / 2) #

Teraz, pomocou #cos ^ (- 1) x-cos ^ (- 1) y = xy + sqrt ((1-x ^ 2) * (1-y ^ 2)) #, dostaneme,

#rarrcos cos ^ (- 1) (5/13) -sin ^ (- 1) (1/2) #

# = Cos (cos ^ (- 1) (5/13 * sqrt3 / 2 + sqrt ((1- (5/13) ^ 2) * (1- (sqrt (3) / 2) ^ 2)))) #

# = (5sqrt3) / 26 + 12/26 #

# = (12 + 5sqrt3) / 26 #

odpoveď:

Podľa súčtového uhla vzorca to je

# cos (arcsin (-1/2)) cos (arccos (5/3)) - sin (arcsin (-1/2)) sin (arccos (5/13)) #

# = (pm sqrt {3} / 2) (5/3) - (-1/2) (pol 12/13) #

# = pm {5 q {3}} / 6 pm 6/13 #

vysvetlenie:

#x = cos (arcsin (1/2) + arccos (5/13)) #

Tieto otázky sú dosť mätúce s funky inverznou funkciou notácie. Skutočným problémom s takýmito otázkami je vo všeobecnosti najlepšie zaobchádzať s inverznými funkciami ako s viacerými hodnotami, čo môže znamenať, že výraz má aj viacero hodnôt.

Môžeme sa tiež pozrieť na hodnotu #X# pre hlavnú hodnotu inverzných funkcií, ale nechám to na iných.

V každom prípade je to kosínus súčtu dvoch uhlov a to znamená, že použijeme vzorec súčtového uhla:

#cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b #

# x = cos (arcsin (-1/2)) cos (arccos (5/3)) - sin (arcsin (-1/2)) sin (arccos (5/13)) #

Ľahký je kosín inverzného kosínusu a sínus inverzného sínu. Kosín inverzného sínusu a sínus inverzného kosínusu sú tiež priamočiare, ale je tu miesto, kde sa vyskytuje problém s viacerými hodnotami.

Vo všeobecnosti budú existovať dva nekoterminálne uhly, ktoré zdieľajú daný kosínus, vzájomné negácie, ktorých sínusmi budú vzájomné negácie. Vo všeobecnosti budú existovať dva nekoterminálne uhly, ktoré zdieľajú daný sínus, doplnkové uhly, ktoré budú mať kosínusy, ktoré sú vzájomnými negáciami. Takže obaja sme sa hore #popoludnie#, Naša rovnica bude mať dve #popoludnie# a je dôležité si uvedomiť, že sú nezávislé, neprepojené.

Vezmime #arcsin (-1/2) # najprv. Toto je samozrejme jedno z klišé trig, # -30 ^ okruh # alebo # -150 ^ okruh #, Kosiny budú # + sqrt {3} / 2 # a # - sqrt {3} / 2 # resp.

V skutočnosti nepotrebujeme brať do úvahy uhol. Môžeme premýšľať o pravý trojuholník s opačným 1 a prepona 2 a prísť s priľahlými # Sqrt {3} # a cosine # pm sq {3} / 2 #, Alebo ak je to príliš veľa myslenia, pretože # cos ^ 2theta + sin ^ 2 theta = 1 # potom #cos (theta) = pm sq {1 - sin ^ 2 theta} # ktorý nám mechanicky povie:

# cos (arcsin (-1/2)) = pm sqrt {1 - (-1/2) ^ 2} = pm sqrt {3} / 2 #

podobne #5,12,13# je tu Pythagorean Triple

#sin (arccos (5/3)) = pm sqrt {1 - (5/13) ^ 2} = 12/13 #

# x = (pm sqrt {3} / 2) (5/3) - (-1/2) (12/13) #

#x = pm {5} {3}} / 6 pm 6/13 #