Čo je druhá odmocnina 89?

odpoveď:

Druhá odmocnina #89# je číslo, ktoré pri štvorcovom vyjadrení #89#.

#sqrt (89) ~ ~ 9.434 #

vysvetlenie:

od tej doby #89# je prvoradý, #sqrt (89) # nemožno zjednodušiť.

Môžete ju priblížiť pomocou metódy Newton Raphson.

Rád by som ho trochu preformuloval takto:

nechať #n = 89 # byť číslo, ktoré chcete odmocninu.

zvoliť # p_0 = 19 #, # q_0 = 2 # tak # P_0 / q_0 # je rozumná racionálna aproximácia. Odvtedy som si vybral tieto konkrétne hodnoty #89# je asi v polovici medzi #9^2 = 81# a #10^2 = 100#.

Prechod pomocou vzorcov:

#p_ (i + 1) = p_i ^ 2 + n q_i ^ 2 #

#q_ (i + 1) = 2 p_i q_i #

To poskytne lepšiu racionálnu aproximáciu.

takže:

# p_1 = p_0 ^ 2 + n q_0 ^ 2 = 19 ^ 2 + 89 * 2 ^ 2 = 361 + 356 = 717 #

# q_1 = 2 p_0 q_0 = 2 * 19 * 2 = 76 #

Ak by sme sa tu zastavili, dostali by sme aproximáciu:

#sqrt (89) ~ ~ 717/76 ~~ 9.434 #

Poďme ešte jeden krok:

# p_2 = p_1 ^ 2 + n q_1 ^ 2 = 717 ^ 2 + 89 * 76 ^ 2 = 514089 + 514064 = 1028153 #

# q_2 = 2 p_1 q_1 = 2 * 717 * 76 = 108984 #

Tak dostaneme aproximáciu:

#sqrt (89) ~ ~ 1028153/108984 ~ ~ 9.43398113 #

Táto metóda Newton Raphson konverguje rýchlo.

#COLOR (biely) () #

Vlastne, pomerne dobrá jednoduchá aproximácia pre #sqrt (89) # je #500/53#, pretože #500^2 = 250000# a #89 * 53^2 = 250001#

#sqrt (89) ~ ~ 500/53 ~ ~ 9.43396 #

Ak na to použijeme jeden krok iterácie, dostaneme lepšiu aproximáciu:

#sqrt (89) ~ ~ 500001/53000 ~ ~ 9.4339811321 #

#COLOR (biely) () #

poznámka pod čiarou

Všetky štvorcové korene kladných celých čísel majú opakujúce sa rozšírenia zlomkov, ktoré môžete použiť aj na vyjadrenie racionálnej aproximácie.

V prípade. T #sqrt (89) # pokračujúca expanzia zlomkov je trochu chaotická, takže nie je tak príjemné pracovať s:

#sqrt (89) = 9; bar (2, 3, 3, 2, 18) = 9 + 1 / (2 + 1 / (3 + 1 / (3 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (3 + …))))))) #

Aproximácia #500/53# vyššie #9; 2, 3, 3, 2#