odpoveď:
Pozrite si vysvetlenie …
vysvetlenie:
ak # P = q = r # potom:
# px ^ 2 + qx + r = qx ^ 2 + rx + p #
Takže všetky nuly, ktoré majú, budú spoločné.
Tieto podmienky nie sú potrebné.
Napríklad, ak # P = 0 #, #q! = 0 # a #r! = 0 # potom:
# Px ^ 2 + qx + r = 0 # má koreň # X = r / q #
# QX ^ 2 + rx + p = 0 # má korene # X = r / q # a # X = 0 #
Takže dve rovnice majú spoločný koreň, ale #p! = q # a nevyžadujeme # P + q + r = 0 #.
odpoveď:
Pozri nižšie.
vysvetlenie:
ako # Px ^ 2 + qx + r = 0 # a # QX ^ 2 + rx + p = 0 # majú spoločný koreň, nech je tento koreň # Alfa #, potom
# Palpha ^ 2 + qalpha + r = 0 # a # Qalpha ^ 2 + Ralpha + p = 0 #
a preto # Alfa ^ 2 / (PQ-R ^ 2) = alfa / (QR-p ^ 2) = 1 / (PR-Q ^ 2) #
a # Alfa = (QR-p ^ 2) / (PR-Q ^ 2) # a # Alfa ^ 2 = (PQ-R ^ 2) / (PR-Q ^ 2) #
tj. # (QR-p ^ 2) ^ 2 / (PR-Q ^ 2) ^ 2 = (PQ-R ^ 2) / (PR-Q ^ 2) #
alebo # (QR-p ^ 2) ^ 2 = (PQ-R ^ 2) (PR-Q ^ 2) #
alebo # Q ^ 2r ^ 2 + p ^ 4-2p ^ 2QR = p ^ 2QR-pq ^ 3-pr ^ 3 + q ^ 2R ^ 2 #
alebo # P ^ 4 + pq ^ 3 + pr ^ 3-3p ^ 2QR = 0 # a delenie # P #
alebo # P ^ 3 + q ^ 3 + r ^ 3-3pqr = 0 #
tj. # (P + q + r) (p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-PQ-QR-rp) = 0 #
Preto buď # P + q + r = 0 # alebo # P ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-PQ-QR-rp = 0 #
Všimnite si, že ako # Alfa ^ 2 / (PQ-R ^ 2) = alfa / (QR-p ^ 2) = 1 / (PR-Q ^ 2) #
# Alfa ^ 2 / (PQ-R ^ 2) = alfa / (QR-p ^ 2) = 1 / (PR-Q ^ 2) = (alfa ^ 2 + alfa + 1) / (p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-PQ-QR-rp) #
A keď # P ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-PQ-QR-rp = 0 #, máme # Alfa ^ 2 + alfa + 1 = 0 # tj. # P = q = r #
