Telo bolo nájdené v 10 hodín v sklade, kde bola teplota 40 ° F. Lekár zistil, že teplota tela je 80 ° F. Aká bola približná doba úmrtia?

odpoveď:

Približný čas úmrtia #8:02:24# am.

Dôležité je poznamenať, že toto je teplota pokožky tela. Lekár by meral vnútornú teplotu, ktorá by sa znížila oveľa pomalšie.

vysvetlenie:

Newtonov zákon o chladení uvádza, že rýchlosť zmeny teploty je úmerná rozdielu k teplote okolia. tj

# (dT) / (dt) prop T - T_0 #

ak #T> T_0 # potom by telo malo vychladnúť, takže derivát by mal byť negatívny, preto vložíme konštantu proporcionality a dospejeme k

# (dT) / (dt) = -k (T - T_0) #

Vynásobenie zátvorky a posunutie vecí o nás:

# (dT) / (dt) + kT = kT_0 #

Teraz môže použiť metódu integračného faktora riešenia ODR.

#I (x) = e ^ (intkdt) = e ^ (kt) #

Vynásobte obidve strany pomocou #I (x) # získať

# e ^ (kt) (dT) / (dt) + e ^ (kt) kT = e ^ (kt) kT_0 #

Všimnite si, že použitím pravidla produktu môžeme prepísať LHS a ponechať:

# d / (dt) Te ^ (kt) = e ^ (kt) kT_0 #

Integrujte obe strany wrt # T #.

# Te ^ (kt) = kT_0 int e ^ (kt) dt #

# Te ^ (kt) = T_0e ^ (kt) + C #

Rozdeľte podľa # E ^ (kt) #

#T (t) = T_0 + Ce ^ (- kt) #

Priemerná teplota ľudského tela je # 98,6 ° "F" #.

#implies T (0) = 98,6 #

# 98.6 = 40 + Ce ^ 0 #

#implies C = 58,6 #

nechať # # T_f je čas, v ktorom sa telo nachádza.

#T (t_f) = 80 #

# 80 = 40 + 58,6e ^ (- kt_f) #

# 40 / (58.6) = e ^ (- kt_f) #

#ln (40 / (58.6)) = -kt_f #

#t_f = - ln (40 / (58,6)) / k #

#t_f = - ln (40 / (58,6)) / (0,1947) #

#t_f = 1,96 hod.

Takže od času smrti, za predpokladu, že telo sa okamžite začalo ochladzovať, trvalo 1,96 hodiny na dosiahnutie 80 ° F, na ktorom mieste bolo nájdené.

# 1.96hr = 117.6min #

Približný čas úmrtia #8:02:24# am