Aká je minimálna hodnota g (x) = (x-1) / (x ^ 2 + 4)? na intervale [-2,2]?

odpoveď:

Minimálna hodnota je na # x = 1-sqrt 5 približne "-" 1.236 #;

#g (1 - sqrt 5) = - (1+ sqrt 5) / (8) približne "-" 0,405 #.

vysvetlenie:

V uzavretom intervale budú možné miesta pre minimum:

• miestne minimum v intervale, alebo
• koncových bodov intervalu.

Preto vypočítavame a porovnávame hodnoty pre #G (x) # vôbec #xv "-2", 2 # ktorá robí #G '(x) = 0 #, ako aj na #X = "- 2" # a # X = 2 #.

Po prvé: čo je #G '(x) #? Pomocou pravidla podielu dostaneme:

#G '(x) = ((1), (x ^ 2 + 4) - (x-1) (2 x)) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

#COLOR (biely) (g '(x)) = (x ^ 2 + 4-2x ^ 2 + 2x) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

#COLOR (biely) (g '(x)) = - (x ^ 2-2x-4) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

To sa rovná nule, keď je čitateľ nula. Podľa kvadratického vzorca dostaneme

# x ^ 2-2x-4 = 0 "" => "" x = 1 + -sqrt 5 približne {"-1,236", 3,236} #

Iba jeden z nich #X#- hodnoty sú v #'-2',2#a to je # x = 1-sqrt 5 #.

Teraz vypočítame:

1. #g ("- 2") = ("-" 2-1) / (("- 2") ^ 2 + 4) = "- 3" / 8 = "-" 0.375 #

2. #g (1 - sqrt 5) = (1 - sqrt 5 -1) / ((1 - sqrt 5) ^ 2 + 4) = ("-" sqrt 5) / (1-2 sqrt 5 + 5 + 4) #

#color (biela) (g (1 - sqrt 5)) = - (sqrt 5) / (10-2sqrt 5) = - (sqrt 5) / ((2) (5-sqrt5)) * farba (modrá) ((5 + sqrt 5) / (5+ sqrt 5)) #

#color (biela) (g (1 - sqrt 5)) = - (5 + 5 sqrt 5) / (2 * (25-5) #)

#color (biela) (g (1 - sqrt 5)) = - (5 (1 + sqrt5)) / (40) = - (1 + sqrt 5) / (8) približne "-" 0,405 #

3. #g (2) = (2-1) / (2 ^ 2 + 4) = 1/8 = 0,125 #

Porovnanie týchto troch hodnôt #G (x) #Vidíme to #g (1-sqrt 5) # je najmenší. tak # - (1+ sqrt 5) / 8 # je naša minimálna hodnota pre #G (x) # na #'-'2, 2#.