Čo je projekcia <0, 1, 3> na <0, 4, 4>?

odpoveď:

Vektorová projekcia je #< 0,2,2 >#, skalárna projekcia je # # 2sqrt2, Pozri nižšie.

vysvetlenie:

daný # veca = <0,1,3> # a # vecb = <0,4,4> #, môžeme nájsť #proj_ (vecb) Veca #, vektor projekcia # # Veca na # # Vecb pomocou nasledujúceho vzorca:

#proj_ (vecb) Veca = ((Veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

To znamená, že bodový produkt dvoch vektorov vydelený veľkosťou # # Vecb, vynásobeny # # Vecb jeho veľkosť. Druhou veličinou je vektorová veličina, pretože vektor delíme skalárnym. Všimnite si, že sa delíme # # Vecb s cieľom získať a jednotkový vektor (vektor s veľkosťou. t #1#). Môžete si všimnúť, že prvá veličina je skalárna, pretože vieme, že keď vezmeme bodový produkt dvoch vektorov, výsledkom je skalár.

Preto skalárne projekcia # A # na # B # je #comp_ (vecb) Veca = (a * b) / (| b |) #, tiež napísané # | Proj_ (vecb) Veca | #.

Môžeme začať tým, že vezmeme bodový produkt dvoch vektorov:

# veca * vecb = <0,1,3> * <0,4,4> #

#=> (0*0)+(4*1)+(4*3)#

#=>0+4+12=16#

Potom môžeme nájsť veľkosť # # Vecb tým, že vezmeme odmocninu súčtu štvorcov každej zo zložiek.

# | Vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) #

# | Vecb | = sqrt ((0) ^ 2 + (4) ^ 2 + (4) ^ 2) #

# => Sqrt (0 + 16 + 16) = sqrt (32) #

A teraz máme všetko, čo potrebujeme, aby sme našli vektorovú projekciu # # Veca na # # Vecb.

#proj_ (vecb) veca = (16) / sqrt (32) * (<0,4,4>) / sqrt (32) #

#=>(16 < 0,4,4 >)/32#

#=>(< 0,4,4 >)/2#

#=>< 0,2,2 >#

Skalárna projekcia # # Veca na # # Vecb je len prvá polovica vzorca, kde #comp_ (vecb) Veca = (a * b) / (| b |) #, Preto je skalárna projekcia # 16 / sqrt (32) #, čo ďalej zjednodušuje # # 2sqrt2, Nižšie uvádzam zjednodušenie.

# 16 / sqrt (32) #

# => 16 / sqrt (16 * 2) #

# => 16 / (4 * sqrt2) #

# => 4 / sqrt2 #

# => (4 * sqrt2) / (sqrt2 * sqrt2) #

# => (4sqrt2) / 2 #

# => 2sqrt2 #

Dúfam, že to pomôže!