Aké sú príklady konvergentných sérií?

odpoveď:

Tu sú tri dôležité príklady …

vysvetlenie:

Geometrické rady

ak #abs (r) <1 # potom súčet geometrických radov #a_n = r ^ n a_0 # je konvergentné:

#sum_ (n = 0) ^ oo (r ^ n a_0) = a_0 / (1-r) #

Exponenciálna funkcia

Definícia série # E ^ x # je konvergentná pre akúkoľvek hodnotu #X#:

# e ^ x = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ n / (n!) #

Aby ste to dokázali, pre akékoľvek dané #X#, nech # N # byť celé číslo väčšie ako #abs (x) #, potom #sum_ (n = 0) ^ N x ^ n / (n!) # konverguje, pretože ide o konečnú sumu a #sum_ (n = N + 1) ^ oo x ^ n / (n!) # konverguje, pretože absolútna hodnota pomeru po sebe idúcich podmienok je menšia ako. t #abs (x) / (N + 1) <1 #.

Bazilejský problém

Bazilejský problém, postavený v roku 1644 a vyriešený Eulerom v roku 1734 požiadal o hodnotu súčtu recipročných hodnôt štvorcov kladných celých čísel:

#sum_ (n = 1) ^ oo 1 / (n ^ 2) = pi ^ 2/6 #