Ako riešiť integráciu?

odpoveď:

# Q = (15 / 2,0) #

# P = (3,9) #

# "Area" = 117/4 #

vysvetlenie:

Q je x-prerušenie čiary # 2x + y = 15 #

Ak chcete nájsť tento bod, nech # Y = 0 #

# 2x = 15 #

# X = 15/2 #

tak # Q = (15 / 2,0) #

P je bod zachytenia medzi krivkou a čiarou.

# y = x ^ 2 "" (1) #

# 2x + y = 15 "" (2) #

náhradník #(1)# do #(2)#

# 2x + x ^ 2 = 15 #

# X ^ 2 + 2-15 = 0 #

# (X + 5) (X-3) = 0 #

# X = -5 # alebo # X = 3 #

Z grafu je x súradnica P pozitívna, takže môžeme odmietnuť # X = -5 #

# X = 3 #

# Y = x ^ 2 #

#=3^2#

#=9#

#:. P = (3,9) #

graf {(2x + y-15) (x ^ 2-y) = 0 -17,06, 18,99, -1,69, 16,33}

Teraz pre túto oblasť

Ak chcete nájsť celkovú rozlohu tohto regiónu, môžeme nájsť dve oblasti a pridať ich dohromady.

Toto bude oblasť pod # Y = x ^ 2 # od 0 do 3 a oblasť pod čiarou od 3 do 15/2.

# "Oblasť pod krivkou" = int_0 ^ 3 x ^ 2dx #

# = 1/3 x ^ 3 _0 ^ 3 #

# = 1 / 3xx3 ^ 3-0 #

#=9#

Prostredníctvom integrácie dokážeme spracovať oblasť línie, ale ľahšie sa s ňou zaobchádza ako s trojuholníkom.

# "Oblasť pod čiarou" = 1 / 2xx9xx (15 / 2-3) #

# = 1 / 2xx9xx9 / 2 #

#=81/4#

#:. "celková plocha tieňovanej oblasti" = 81/4 + 9 #

#=117/4#

odpoveď:

Pre 3 a 4

Tom urobil 10

vysvetlenie:

3

# int_0 ^ 5 f (x) dx = (int_0 ^ 1 + int_1 ^ 5) f (x) dx #

#:. int_1 ^ 5 f (x) dx = (int_0 ^ 5 - int_0 ^ 1) f (x) dx #

#= 1- (-2) = 3#

4

#int _ (- 2) ^ 3 f (x) dx = (int _ (- 2) ^ 1 + int_1 ^ 3) f (x) dx #

#:. int_ (3) ^ (- 2) f (x) dx = -int _ (- 2) ^ 3 f (x) dx #

# = - (int _ (- 2) ^ 1 + int_1 ^ 3) f (x) dx #

#= - (2 - 6) = 4#

odpoveď:

Pozri nižšie:

Upozornenie: Dlhá odpoveď!

vysvetlenie:

Pre (3):

Použitie vlastnosti:

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

Z toho dôvodu:

# int_0 ^ 5 f (x) dx = int_0 ^ 1 f (x) dx + int_1 ^ 5 f (x) dx #

# 1 = -2 + x #

# x = 3 = int_1 ^ 5 f (x) dx #

Pre (4):

(rovnaká vec)

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

# int_-2 ^ 3 f (x) dx = int_-2 ^ 1 f (x) dx + int_1 ^ 3 f (x) dx #

# X = 2 + (- 6) #

# x = -4 = int_-2 ^ 3 f (x) dx #

Musíme však zameniť hranice integrálu, takže:

# int_3 ^ -2 f (x) dx = -int_-2 ^ 3 f (x) dx #

takže:# int_3 ^ -2 f (x) dx = - (- 4) = 4 #

Pre 10 (a):

Máme dve funkcie pretínajúce sa na # P #, tak na # P #:

# X ^ 2 = -2x + 15 #

(Otočil som funkciu linky na sklonku)

# x ^ 2 + 2x-15 = 0 #

# (X + 5) (X-3) = 0 #

tak # X = 3 # ako sme na pravej strane # Y # os #X> 0 #.

(zadaním # X = 3 # do ktorejkoľvek z funkcií)

# Y = -2x + 15 #

# Y = -2 (3) + 15 #

# Y = 15-6 = 9 #

Takže súradnica # P # je #(3,9)#

pre # Q #, čiara # Y = -2x + 15 # kusy # Y #-axis # Y = 0 #

# 0 = -2x + 15 #

# 2x = 15 #

# X = (15/2) = 7,5 #

tak # Q # sa nachádza na adrese #(7.5, 0)#

Pre 10 (b).

Budem stavať dva integrály na nájdenie oblasti. Integrály budem riešiť samostatne.

Táto oblasť je:

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = int_O ^ P (x ^ 2) dx + int_P ^ Q (-2x + 15) dx #

(Vyriešte prvý integrál)

# int_O ^ P (x ^ 2) dx = int_0 ^ 3 (x ^ 2) dx = x ^ 3/3 #

(nahradiť obmedzenia do integrovaného výrazu, pamätajte:

Horná dolná hranica nájsť hodnotu integrálu)

# 3 ^ 3/3 -0 = 9 = int_O ^ P (x ^ 2) dx #

(vyriešiť druhý integrál)

# int_P ^ Q (-2x + 15) dx = int_3 ^ 7,5 (-2x + 15) dx = (- 2x ^ 2) / 2 + 15x = - x ^ 2 + 15x #

(substitučné limity: Horné nižšie)

#-(15/2)^2+15(15/2)--3^2+15(3)#

#(-225/4)+(225/2)+9-45=(-225/4)+(450/4)+-36= (225/4)+(-144/4)=(81/4)#

# int_P ^ Q (-2x + 15) dx = (81/4) #

# int_O ^ Q f (x) dx = int_O ^ P (x ^ 2) dx + int_P ^ Q (-2x + 15) dx #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = 9 + (81/4) #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = 9 + (81/4) #

# A = (36/4) + (81/4) #

# A = (117/4) #