Aká je vzdialenosť medzi (0, 0, 8) a (9, 2, 0)?

odpoveď:

Vzdialenosť je #sqrt (149) #

vysvetlenie:

Vzdialenosť medzi dvoma bodmi

# (x_1, y_1, z_1) #

a

# (x_2, y_2, z_2) #

v # RR ^ 3 # (tri rozmery)

# "vzdialenosť" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 + (z_2-z_1) ^ 2) #

Aplikácia na problém po ruke, dostaneme vzdialenosť medzi #(0, 0, 8)# a #(9, 2, 0)# ako

# "vzdialenosť" = sqrt ((9-0) ^ 2 + (2-0) ^ 2 + (0-8) ^ 2 = sqrt (81 + 4 + 64) = sqrt (149) #

Nasleduje vysvetlenie, odkiaľ pochádza vzorec vzdialenosti a nie je potrebný na pochopenie vyššie uvedeného riešenia.

Vyššie uvedený vzorec vzdialenosti vyzerá podozrivo podobne ako vzorec vzdialenosti v # RR ^ 2 # (dva rozmery):

# "vzdialenosť" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

ktorý vychádza z jednoduchej aplikácie Pytagorovej vety, nakreslením pravouhlého trojuholníka medzi dvoma bodmi s nohami rovnobežnými t #X# a # Y # os.

Ukazuje sa, že # RR ^ 3 # verzia môže byť odvodená podobným spôsobom. Ak použijeme (najviac) 3 riadky na spojenie dvoch bodov, paralelne k #X#, # Y #a # Z # osami, dostaneme krabicu s bodmi ako protiľahlé rohy. Takže, poďme zistiť, ako vypočítať vzdialenosť cez uhlopriečku krabice.

Snažíme sa zistiť dĺžku červenej čiary #COLOR (red) (AD) #

Pretože toto je prepona trojuholníka # # ABD, z Pythagorovej vety:

# (farba (červená) (AD)) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (farba (modrá) (BC)) ^ 2 #

# => farba (červená) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (farba (modrá) (BC)) ^ 2) "(i)" #

Bohužiaľ nemáme dĺžku #COLOR (modrá) (BD) # ako daný. Aby sme to získali, musíme opäť použiť Pytagorovu vetu, tentoraz na trojuholník # # BCD.

# (farba (modrá) (BD)) ^ 2 = (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2 "(ii)" #

Ako potrebujeme len námestie #COLOR (modrá) (BD) #, teraz môžeme nahradiť # ("Ii") # do # ("I") #:

#color (červená) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2) #

Nakoniec, ak máme # A # na # (x_1, y_1, z_1) # a # D # na # (x_2, y_2, z_2) #, potom máme dĺžky

#CD = | x_2 - x_1 |

#BC = | y_2 - y_1 | #

#AB = | z_2 - z_1 | #

Nahradením týchto hodnôt do vyššie uvedeného získame požadovaný výsledok.

Ako dodatočnú poznámku, zatiaľ čo môžeme len ľahko robiť geometrické dôkazy v 3 dimenziách, matematici majú zovšeobecnenú vzdialenosť # RR ^ n # (# N # rozmery). Vzdialenosť medzi

# (x_1, x_2, …, x_n) # a # (y_1, y_2, …, y_n) # je definované ako

#sqrt (sum_ (k = 1) ^ n (y_k - x_k) ^ 2) #

ktorý zodpovedá vzoru z # RR ^ 2 # a # RR ^ 3 #.