Máme hasf: {1,2,3} -> {1,2} a g: {1,2,3} -> {1,2,3,4}. Koľko existuje injekčných f a g funtions?

odpoveď:

# F # nemôže byť injekčné.

# G # môže byť injektívne #24# spôsoby.

vysvetlenie:

Funkcia je injektívna, ak dva vstupy neposkytujú rovnaký výstup. Inými slovami, niečo podobné

#f (x) = f (y), x x y y

nemôže sa stať.

To znamená, že v prípade konečnej domény a codomainu môže byť funkcia injektívna len vtedy, ak je doména menšia ako codomain (alebo, nanajvýš, rovná), čo sa týka kardinality.

To je dôvod, prečo # F # nikdy nemôže byť injekčná. V skutočnosti môžete opraviť # F (1) # ako chcete. Povedať # F (1) = 1 #, napríklad. Pri výbere # F (2) #Nemôžeme to znova povedať # F (2) = 1 #, alebo # F # by nebolo injekčné. Ale keď príde # F (3) # nemáme na výber, ak povieme # F (3) = 1 # máme # F (1) = f (3) #a ak to povieme # F (3) = 2 # máme # F (2) = f (3) #.

Inými slovami, musíme každému z troch vstupov priradiť jeden z dvoch možných výstupov. Malo by byť zrejmé, že vstupy nemôžu poskytovať rôzne výstupy.

Na druhej strane # G # môže byť injektívne, pretože existuje "dosť miesta": každý z troch vstupov si môže vybrať jeden zo štyroch výstupov takým spôsobom, že žiadny iný vstup neposkytuje rovnaký výstup.

Ale koľko spôsobov? Predpokladajme, že začneme znova # F (1) #, Môžeme si vybrať ktorýkoľvek zo štyroch výstupov pre tento vstup, takže si môžeme vybrať # F (1) # štyrmi spôsobmi.

Pokiaľ ide o # F (2) #, stratíme nejakú slobodu: môžeme priradiť akúkoľvek hodnotu # F (2) #, okrem toho, ku ktorému sme priradili # F (1) #, takže máme dve možnosti. Napríklad, ak sme opravili # F (1) = 2 #, potom # F (2) # môže byť #1#, #3# alebo #4#.

Rovnakou logikou máme dve možnosti # F (3) #zo štyroch možných možností vylučujeme tie, ktoré už boli priradené # F (1) # a # F (3) #.

Takže môžeme definovať # G # v #4*3*2 = 24# spôsobom # G # je injekčný.