Predpokladajme, že na mierovej konferencii existuje m Martians & n Earthlings. Aby sme zabezpečili, že Marťania zostanú na konferencii pokojní, musíme sa uistiť, že dvaja Marťania sedia spolu tak, že medzi dvomi Marťanmi je aspoň jeden Pozemšťan (pozri detail).

odpoveď:

a) # (N! (N + 1)!) / ((N-m + 1)!) #

b) # (N! (N-1)!) / ((N-m)!) #

vysvetlenie:

Okrem niektorých ďalších úvah použijeme tri spoločné techniky pre počítanie.

Po prvé, využijeme skutočnosť, že ak existujú # N # spôsoby, ako urobiť jednu vec a # M # spôsob, ako robiť iné, potom za predpokladu, že úlohy sú nezávislé (to, čo môžete urobiť pre jedného, sa nespolieha na to, čo ste urobili v druhom), existuje # # Nm spôsoby, ako to urobiť. Napríklad, ak mám päť košele a tri páry nohavíc, potom sú #3*5=15# oblečenie, ktoré môžem urobiť.

Po druhé, použijeme počet spôsobov objednávania # K # objekty #K #!, Je to preto, lebo existujú # K # spôsoby výberu prvého predmetu a potom # K-1 # spôsoby výberu druhého a tak ďalej a tak ďalej. Celkový počet spôsobov je teda #K (k-1) (k-2) … (2) (1) = k #!

Nakoniec použijeme množstvo spôsobov výberu # K # objekty zo sady # N # objekty # ((n), (k)) = (n!) / (k! (n-k)!) # (vyslovuje sa ako n zvoľte k). Tu je uvedený náčrt, ako dosiahnuť tento vzorec.

a) Ak pôvodne nezohľadníme rozdelenia, existujú #m #! spôsob, ako nariadiť Marťanom a # N #! spôsob, ako objednať Earthlings. Nakoniec musíme vidieť, kde sú umiestnené Marťania. Keďže každý Marťan musí byť umiestnený buď na konci, alebo medzi dvoma pozemšťanmi, existuje # N + 1 # miesta, ktoré môžu sedieť (jeden vľavo od každého Pozemšťana, a potom jeden úplne vpravo). Ako tam sú # M # Marťania, to znamená, že tam sú # ((n + 1), (m)) = ((n + 1)!) / (m! (n + 1-m)!) # možnosti ich umiestnenia. Tak je možné celkové usporiadanie sedadiel

#n! m! ((n + 1)!) / (m! (n + 1-m)!) = (n! (n + 1)!) / ((n-m + 1)!) #

b) Tento problém je podobný vyššie uvedenému. Ak chcete veci jednoduchšie, poďme vybrať Earthling a zavolajte mu prezident. Pretože nezáleží na tom, ako sa kruh otáča, namiesto toho, aby sme sa odvolávali na usporiadanie sedenia na základe absolútneho usporiadania, zvážime usporiadanie sedenia na základe ich vzťahu k prezidentovi.

Ako je uvedené vyššie, ak začneme od prezidenta a pokračujeme v smere hodinových ručičiek okolo kruhu, môžeme spočítať počet spôsobov objednania zostávajúcich účastníkov. Ako tam sú # M # Marťania a # N-1 # zostávajúcich pozemšťanov #m #! spôsob, ako nariadiť Marťanom a # (N-1) #! spôsob objednania zostávajúcich Pozemšťanov.

Ďalej musíme opäť postaviť Marťanov. Tentokrát nemáme na konci žiadne ďalšie miesto, takže sú len # N # môžu sedieť. Potom sú tu # ((N), (m)) = (n!) / (M! (N-m)!) # spôsoby, ako ich umiestniť. Tak je možné celkové usporiadanie sedadiel

# (N-1)! M! (N!) / (M! (N-m)!) = (N! (N-1)!) / ((N-m)!) #