Ukážte, že ak p, q, r, s sú reálne číslo a pr = 2 (q + s), potom aspoň jedna z rovníc x ^ 2 + px + q = 0 a x ^ 2 + rx + s = 0 má skutočné korene?

odpoveď:

Pozri nižšie.

Diskriminačný # X ^ 2 + px + q = 0 # je # Delta_1 = p ^ 2-4q #

a # X ^ 2 + rx + y = 0 # je # Delta_2 = r ^ 2-4s #

a # Delta_1 + Delta_2 = p ^ 2-4q + r ^ 2-4s #

= # P ^ 2 + r ^ 2-4 (q + s) #

= # (P + r) ^ 2-2pr-4 (q + s) #

= # (P + r) ^ 2-2 PR-2 (q + s) #

A keď # Pr = 2 (q + s) #, máme # Delta_1 + Delta_2 = (p + r) ^ 2 #

Keďže súčet týchto dvoch diskriminátorov je pozitívny, aspoň jeden z nich by bol pozitívny

a teda aspoň jednu z rovníc # X ^ 2 + px + q = 0 # a # X ^ 2 + rx + y = 0 # má skutočné korene.