Ako vyriešim túto rovnicu?

odpoveď:

# "Zobraziť vysvetlenie" #

vysvetlenie:

# "Najprv aplikujte racionálne korene na nájdenie racionálnych koreňov."

# "Nájdeme" x = 1 "ako racionálny koreň." #

# "Takže" (x-1) "je faktor. Rozdeľujeme tento faktor preč:" # #

# 3 x ^ 4 - 5 x ^ 3 + 2 = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2) #

# "Máme zostávajúcu kubickú rovnicu, ktorá nemá žiadne racionálne korene."

# "Môžeme to vyriešiť nahradením metódy Vieta." #

# x ^ 3 - (2/3) x ^ 2 - (2/3) x - 2/3 = 0 #

# "Náhradník" x = y + 2/9 ". Potom dostaneme" #

# y ^ 3 - (22/27) y - (610/729) = 0 #

# "Náhradník" y = (sqrt (22) / 9) z ". Potom dostaneme" #

# z ^ 3 - 3 z - 5.91147441 = 0 #

# "Náhradník" z = t + 1 / t ". Potom dostaneme" #

# t ^ 3 + 1 / t ^ 3 - 5.91147441 = 0 #

# "Nahradenie" u = t ^ 3 ", prináša kvadratickú rovnicu:" #

# u ^ 2 - 5,91147441 u + 1 = 0 #

# "Koreň tejto kvadratickej rovnice je u = 5.73717252." #

# "Nahradenie premenných, výnosy:" #

#t = root (3) (u) = 1,79019073 #

#z = 2.34879043. #

#y = 1.22408929. #

#x = 1.44631151. #

# "Ostatné korene sú zložité:" #

# -0.38982242 pm 0.55586071 i.

# "(Možno ich nájsť tak, že ich vydelíme) (x-1.44631151)) #

odpoveď:

Racionálna reálna nula je # X = 1 #.

Potom je tu iracionálna reálna nula:

# x_1 = 1/9 (2 + koreň (3) (305 + 27sqrt (113)) + root (3) (305-27sqrt (113))) #

a súvisiace nereálne komplexné nuly.

vysvetlenie:

Vzhľadom na to:

# 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 = 0 #

Všimnite si, že súčet koeficientov je #0#.

To je: #3-5+2 = 0#

Preto to môžeme odvodiť # X = 1 # je nula a # (X-1) # faktor:

# 0 = 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 #

#color (biela) (0) = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2) #

Zostávajúca kocka je o niečo zložitejšia …

Vzhľadom na to:

#f (x) = 3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2 #

Transformácia Tschirnhaus

Aby bola úloha riešenia kubickej jednoduchšia, urobíme kubický jednoduchší pomocou lineárnej substitúcie známej ako Tschirnhausova transformácia.

# 0 = 243f (x) = 729x ^ 3-486x ^ 2-486x-486 #

# = (9x-2) ^ 3-66 (9x-2) -610 #

# = T ^ 3-66 t-610 #

kde # T = (9x-2) #

Cardanovu metódu

Chceme vyriešiť:

# T ^ 3-66 t-610 = 0 #

nechať # T = u + v #.

potom:

# U ^ 3 + v ^ 3 + 3 (UV-22) (pri + v) -610 = 0 #

Pridajte obmedzenie # V = 22 / u # odstrániť # (U + v) # termín a získajte:

# U ^ 3 + 10648 / u ^ 3-610 = 0 #

Vynásobte pomocou # U ^ 3 # a ľahko ich usporiadajte, aby ste získali:

# (U ^ 3) ^ 2-610 (u ^ 3) + 10648 = 0 #

Použite kvadratický vzorec na vyhľadanie:

# U ^ 3 = (610 + -sqrt ((- 610) ^ 2-4 (1) (10648))) / (2 * 1) #

# = (610 + -sqrt (372.100-42.592)) / 2 #

# = (610 + -sqrt (329508)) / 2 #

# = (610 + -54sqrt (113)) / 2 #

# = 305 + -27sqrt (113) #

Pretože toto je reálne a odvodenie je symetrické v # U # a # V #, môžeme použiť jeden z týchto koreňov # U ^ 3 # a ďalšie # V ^ 3 # nájsť Real root:

# T_1 = koreň (3) (305 + 27sqrt (113)) + koreň (3) (305-27sqrt (113)) #

a súvisiace komplexné korene:

# t_2 = omega root (3) (305 + 27sqrt (113)) + koreň omega ^ 2 (3) (305-27sqrt (113)) #

# t_3 = omega ^ 2 koreň (3) (305 + 27sqrt (113)) + koreň omega (3) (305-27sqrt (113)) #

kde # Omega = -1 / 2 + sqrt (3) / 2i # je primitívny komplexný kockový koreň #1#.

teraz # X = 1/9 (2 + t) #, Takže korene našej pôvodnej kubickej sú:

# x_1 = 1/9 (2 + koreň (3) (305 + 27sqrt (113)) + root (3) (305-27sqrt (113))) #

# x_2 = 1/9 (2 + omega root (3) (305 + 27sqrt (113)) + koreň omega ^ 2 (3) (305-27sqrt (113))) #

# x_3 = 1/9 (2 + omega ^ 2 koreň (3) (305 + 27sqrt (113)) + koreň omega (3) (305-27sqrt (113))) #