odpoveď:
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (2k + 1) / 8)) # pre #b v RR #
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8))) # # pre #b = | b | e ^ (itheta) v CC #
vysvetlenie:
Základnou teóriou algebry môžeme daný výraz vyjadriť ako
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 1) ^ 8 (a-alfa_k) #
kde každý # # Alpha_k je koreň # X ^ 8 + b ^ 8 #.
Riešenie pre # # Alpha_k, dostaneme
# x ^ 8 + b ^ 8 = 0 #
# => x ^ 8 = -b ^ 8 #
# => x = (-b ^ 8) ^ (1/8) #
# = | B | (-1) ^ (1/8) # (Za predpokladu, #b v RR #)
# = | B | (e ^ (i (pi + 2pik))) ^ (1/8) #
# = | b | e ^ (ipi ((2k + 1) / 8), kv ZZ #
ako #k v {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} # účtovníctvo všetkých jedinečných hodnôt tejto formy, dostávame našu faktorizáciu ako pre #b v RR #
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (2k + 1) / 8)) #
Pre všeobecnejšie #b v CC #, potom predpokladám #b = | b | e ^ (itheta) #, môžeme prejsť podobné výpočty nájsť
# (- b ^ 8) ^ (1/8) = | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8)) #
zmysel
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8))) # #
Prepáčte, prehliadam si niektoré drobné detaily, odpoveď poskytovaná spoločnosťou sente je správna.
dajme tomu #b ne 0 # a # a, bv RR # máme
# (a / b) ^ 8 = -1 = e ^ (ipi + 2kpi) # potom
# A / b = e ^ (i (2k + 1) pi / 8) # potom
# a-b e ^ (i (2k + 1) pi / 8) = 0 # sú # K = 0,1, cdots, 7 # korene alebo faktory.
vymedziť
#p (k) = a-be ^ (i (2k + 1) pi / 8) #
a potom
# f_1 = p (1) p (6) = a ^ 2 - (sqrt 2 - sqrt 2) a b + b ^ 2 #
# f_2 = p (2) p (5) = a ^ 2 + (sqrt 2 - sqrt 2) a b + b ^ 2 #
# f_3 = p (3) p (4) = a ^ 2 + (sqrt 2 + sqrt 2) a b + b ^ 2 #
# f_4 = p (0) p (7) = a ^ 2 - (sqrt 2 + sqrt 2) a b + b ^ 2 #
tak
# a ^ 8 + b ^ 8 = f_1 f_2 f_3 f_4 # s reálnymi koeficientmi.
